Um satélite com 1.500 kg de massa está em uma órbita elíptica com um período de 8,0 times 10^4 s em torno de um planeta com 7,00 times 10^24 kg. No ponto mais afastadlo, a uma distância de 4,5 times 10^7 m do centro do planeta, a velocidade do satélite é 3,22 km / s. (a) Qual a velocidade do satélite quando ele está mais próximo? Observe que, sendo a força gravitacional uma força central (direção radial) ela não produz torque, o momento angular é conservado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um satélite de 1.500 kg orbitando um planeta com massa de 7,00 times 10^24 kg. A órbita é elíptica, e o período de uma volta completa é 8,0 times 10^4 segundos. No ponto mais afastado da órbita (apogeu), que está a 4,5 times 10^7 metros do centro do planeta, a velocidade do satélite é de 3,22 km/s. A pergunta é: qual a velocidade do satélite quando ele está mais próximo do planeta (perigeu)?
Vamos usar o conteúdo de conservação do momento angular para resolver isso. Para isso, precisamos entender que, em órbitas elípticas, o momento angular do satélite se mantém constante, ou seja, o produto da velocidade e da distância ao centro permanece igual nos pontos de apogeu e perigeu.

Passo 2

Primeiro, precisamos converter a velocidade no apogeu para metros por segundo para manter as unidades consistentes. Sabemos que 1 km/s = 1000 m/s.
va = 3,22 , km/s = 3,22 times 1000 , m/s = 3220 , m/s

Passo 3

Sabemos que o momento angular L é dado por:
L = m times v times r
Como o momento angular é conservado, podemos igualar o momento angular no apogeu ao momento angular no perigeu:
m times va times ra = m times vp times rp
Podemos simplificar cancelando a massa m de ambos os lados:
va times ra = vp times rp

Passo 4

Precisamos encontrar a velocidade no perigeu ( vp). Para isso, rearranjamos a equação:
vp = va times rarp
Mas ainda precisamos encontrar rp, a distância no perigeu. Sabemos que em uma órbita elíptica, a soma das distâncias do perigeu e apogeu é igual a duas vezes o semieixo maior ( a):
ra + rp = 2a

Passo 5

Vamos primeiro encontrar o semieixo maior ( a) usando a Terceira Lei de Kepler, que relaciona o período orbital ( T) ao semieixo maior:
T^2 = 4pi^2 a^3G M
Onde:
  • T = 8,0 times 10^4 , s é o período
  • G = 6,67430 times 10^-11 , m^3,kg^-1,s^-2 é a constante gravitacional
  • M = 7,00 times 10^24 , kg é a massa do planeta
Rearranjando para encontrar a:
a^3 = G M T^24pi^2
Calculando:
a^3 = 6,67430 times 10^-11 times 7,00 times 10^24 times (8,0 times 10^4)^24pi^2
a^3 approx 6,67430 times 10^-11 times 7,00 times 10^24 times 6,4 times 10^939,4784
a^3 approx 2,990 times 10^2339,4784 approx 7,575 times 10^21 , m^3
a approx raiz[3]7,575 times 10^21 approx 4,23 times 10^7 , m

Passo 6

Agora que temos a approx 4,23 times 10^7 m, podemos encontrar rp:
rp = 2a - ra = 2 times 4,23 times 10^7 - 4,5 times 10^7 = 8,46 times 10^7 - 4,5 times 10^7 = 3,96 times 10^7 , m

Passo 7

Agora, substituímos os valores na fórmula para vp:
vp = va times rarp = 3220 times 4,5 times 10^73,96 times 10^7 = 1,449 times 10^113,96 times 10^7 approx 3,66 times 10^3 , m/s
Convertendo para km/s:
vp = 3,66 times 10^3 , m/s = 3,66 , km/s

Resposta

A velocidade do satélite quando ele está mais próximo do planeta é aproximadamente 3,66 km/s.

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