Um satélite com 1.500 kg de massa está em uma órbita elíptica com um período de
em torno de um planeta com
. No ponto mais afastadlo, a uma distância de
do centro do planeta, a velocidade do satélite é
. (a) Qual a velocidade do satélite quando ele está mais próximo? Observe que, sendo a força gravitacional uma força central (direção radial) ela não produz torque, o momento angular é conservado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um satélite de 1.500 kg orbitando um planeta com massa de
kg. A órbita é elíptica, e o período de uma volta completa é
segundos. No ponto mais afastado da órbita (apogeu), que está a
metros do centro do planeta, a velocidade do satélite é de 3,22 km/s. A pergunta é: qual a velocidade do satélite quando ele está mais próximo do planeta (perigeu)?
Vamos usar o conteúdo de conservação do momento angular para resolver isso. Para isso, precisamos entender que, em órbitas elípticas, o momento angular do satélite se mantém constante, ou seja, o produto da velocidade e da distância ao centro permanece igual nos pontos de apogeu e perigeu.
Passo 2
Primeiro, precisamos converter a velocidade no apogeu para metros por segundo para manter as unidades consistentes. Sabemos que
.
Passo 3
Sabemos que o momento angular
é dado por:
Como o momento angular é conservado, podemos igualar o momento angular no apogeu ao momento angular no perigeu:
Podemos simplificar cancelando a massa
de ambos os lados:
Passo 4
Precisamos encontrar a velocidade no perigeu (
). Para isso, rearranjamos a equação:
Mas ainda precisamos encontrar
, a distância no perigeu. Sabemos que em uma órbita elíptica, a soma das distâncias do perigeu e apogeu é igual a duas vezes o semieixo maior (
):
Passo 5
Vamos primeiro encontrar o semieixo maior (
) usando a Terceira Lei de Kepler, que relaciona o período orbital (
) ao semieixo maior:
Onde:
-
é o período -
é a constante gravitacional -
é a massa do planeta
Rearranjando para encontrar
:
Calculando:
Passo 6
Agora que temos
m, podemos encontrar
:
Passo 7
Agora, substituímos os valores na fórmula para
:
Convertendo para km/s:
Resposta
A velocidade do satélite quando ele está mais próximo do planeta é aproximadamente 3,66 km/s.