Um satélite, com uma massa de 300 kg , se move em uma órbita circular 5,00 times 10^6 m acima da superfície da Terra. Qual é a rapidez do satélite?

Passo 1

Vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos um satélite com uma massa de 300 kg que está se movendo em uma órbita circular a uma altura de acima da superfície da Terra. Nosso objetivo é descobrir qual é a rapidez desse satélite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Mecânica Orbital, que envolvem a relação entre a força gravitacional e a força centrípeta.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a força gravitacional que a Terra exerce sobre o satélite. A força gravitacional ( Fg = G cdot M cdot mR^2 ) pode ser calculada pela fórmula:
Onde:
  • é a constante gravitacional ( ),
  • é a massa da Terra ( ),
  • é a massa do satélite ( ),
  • é a distância entre o centro da Terra e o satélite.

Passo 3

Vamos calcular a distância total R = RTerra + h = 6,371 times 10^6 m + 5,00 times 10^6 m = 1,1371 times 10^7 m . Essa distância é a soma do raio da Terra e da altura da órbita do satélite:
Onde:
  • é o raio da Terra ( ),
  • é a altura da órbita ( ).

Passo 4

A força centrípeta ( Fc = m cdot v^2R ) que mantém o satélite em órbita é dada por:
Onde é a rapidez que queremos encontrar.

Passo 5

Para que o satélite permaneça em uma órbita circular, a força gravitacional deve ser igual à força centrípeta:
Fg = Fc
Substituindo as fórmulas:
G cdot M cdot mR^2 = m cdot v^2R
Podemos simplificar cancelando v^2 = G cdot MR de ambos os lados e multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Agora, vamos isolar v = raizG cdot MR tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
v = raiz6,674 times 10^-11 N cdot m^2/kg^2 cdot 5,972 times 10^24 kg1,1371 times 10^7 m
Substituindo os valores conhecidos:

Passo 7

Vamos calcular o valor dentro da raiz:
6,674 times 10^-11 cdot 5,972 times 10^241,1371 times 10^7 approx 3,986 times 10^141,1371 times 10^7 approx 3,504 times 10^7 m^2/s^2
Então:
v = raiz3,504 times 10^7 approx 5,918 times 10^3 m/s

Resposta

A rapidez do satélite é aproximadamente .

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