Seja P2(R) e S subset P2(R) um subespaço tal que S=[2, t^2]. Considere em P2(R) o produto interno dado por
lang<= p, qrang<==integral0^1 p(t) q(t) d t
Determine uma base para o espaço ortogonal S^perp.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma base para o espaço ortogonal lang<= p, q rang<= = integral0^1 p(t) q(t) , dt dentro de , que é o conjunto dos polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. A gente vai usar o conceito de produto interno definido por
Basicamente, precisamos achar todos os polinômios que são ortogonais a cada elemento de , que nesse caso é o subespaço gerado pelos polinômios e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser ortogonal nesse contexto. Dois polinômios lang<= p, q rang<= = 0 e lang<= p, 2 rang<= = 0 e lang<= p, t^2 rang<= = 0 são ortogonais se o produto interno entre eles for zero:
Então, queremos encontrar todos os polinômios em que satisfazem:

Passo 3

Vamos calcular lang<= p, 2 rang<= = integral0^1 (a + b t + c t^2) cdot 2 , dt = 2a integral0^1 dt + 2b integral0^1 t , dt + 2c integral0^1 t^2 , dt :
integral0^1 dt = 1, integral0^1 t , dt = 12, integral0^1 t^2 , dt = 13
Calculando as integrais:
2a cdot 1 + 2b cdot 12 + 2c cdot 13 = 0 Rightarrow 2a + b + 2c3 = 0
Substituindo:

Passo 4

Agora, vamos calcular lang<= p, t^2 rang<= = integral0^1 (a + b t + c t^2) cdot t^2 , dt = a integral0^1 t^2 , dt + b integral0^1 t^3 , dt + c integral0^1 t^4 , dt :
integral0^1 t^2 , dt = 13, integral0^1 t^3 , dt = 14, integral0^1 t^4 , dt = 15
Calculando as integrais:
a cdot 13 + b cdot 14 + c cdot 15 = 0 Rightarrow a3 + b4 + c5 = 0
Substituindo:

Passo 5

Agora temos um sistema de equações lineares para 2a + b + 2c3 = 0 a3 + b4 + c5 = 0 , 6a + 3b + 2c = 0 e 20a + 15b + 12c = 0 :
Vamos simplificar para facilitar. Multiplicando a primeira equação por 3 para eliminar o denominador:
Multiplicando a segunda equação por 60 (o mínimo múltiplo comum de 3, 4 e 5) para eliminar os denominadores:

Passo 6

Agora temos o sistema simplificado:
6a + 3b + 2c = 0 20a + 15b + 12c = 0
Podemos resolver esse sistema. Por exemplo, podemos tentar eliminar uma variável. Vamos multiplicar a primeira equação por 5:
30a + 15b + 10c = 0
Subtraindo da segunda equação:
(20a + 15b + 12c) - (30a + 15b + 10c) = -10a + 0b + 2c = 0 Rightarrow -10a + 2c = 0 Rightarrow 5a = c

Passo 7

Com 6a + 3b + 2(5a) = 0 Rightarrow 6a + 3b + 10a = 0 Rightarrow 16a + 3b = 0 Rightarrow 3b = -16a Rightarrow b = -163a , substituímos na primeira equação simplificada:
a = a, b = -163a, c = 5a
Então, temos:
p(t) = a (1 - 163 t + 5 t^2)
Podemos expressar p(t) = 3 (1 - 163 t + 5 t^2) = 3 - 16 t + 15 t^2 em termos de :
Como estamos procurando uma base, podemos escolher para eliminar os denominadores:

Resposta

Uma base para S^perp = , 3 - 16 t + 15 t^2 , é o polinômio :

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