Seja
e
um subespaço tal que
. Considere em
o produto interno dado por
Determine uma base para o espaço ortogonal
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma base para o espaço ortogonal
dentro de
, que é o conjunto dos polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. A gente vai usar o conceito de produto interno definido por
Basicamente, precisamos achar todos os polinômios que são ortogonais a cada elemento de
, que nesse caso é o subespaço gerado pelos polinômios
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser ortogonal nesse contexto. Dois polinômios
e
são ortogonais se o produto interno entre eles for zero:
Então, queremos encontrar todos os polinômios
em
que satisfazem:
Passo 3
Vamos calcular
:
Calculando as integrais:
Substituindo:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Calculando as integrais:
Substituindo:
Passo 5
Agora temos um sistema de equações lineares para
,
e
:
Vamos simplificar para facilitar. Multiplicando a primeira equação por 3 para eliminar o denominador:
Multiplicando a segunda equação por 60 (o mínimo múltiplo comum de 3, 4 e 5) para eliminar os denominadores:
Passo 6
Agora temos o sistema simplificado:
Podemos resolver esse sistema. Por exemplo, podemos tentar eliminar uma variável. Vamos multiplicar a primeira equação por 5:
Subtraindo da segunda equação:
Passo 7
Com
, substituímos na primeira equação simplificada:
Então, temos:
Podemos expressar
em termos de
:
Como estamos procurando uma base, podemos escolher
para eliminar os denominadores:
Resposta
Uma base para
é o polinômio
: