Sea
e
, calcular df/dt utilizando la regla de la cadena.
Passo 1
Vamos entender o que a questão pede. Temos uma função de duas variáveis,
. As variáveis
e
são expressas em termos de
, onde
e
. Precisamos calcular a derivada de
em relação a
, ou seja,
, usando a regra da cadeia. Para isso, vamos precisar conhecer derivadas parciais e a regra da cadeia para funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. A derivada parcial de
em relação a
, denotada por
, é a derivada de
tratando
como constante. Analogamente,
é a derivada de
tratando
como constante.
Vamos calcular essas derivadas para a função dada:
Passo 3
Agora, aplicamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A regra da cadeia nos diz que a derivada de
em relação a
é:
Isso significa que precisamos calcular
e
.
Dado que
e
, temos:
Passo 4
Agora, substituímos
e
nas derivadas parciais que calculamos:
Passo 5
Finalmente, aplicamos a regra da cadeia substituindo tudo na expressão de
:
Simplificando:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: