Sea
e , calcular df/dt utilizando la regla de la cadena.

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede. Temos uma função de duas variáveis, . As variáveis e são expressas em termos de , onde e . Precisamos calcular a derivada de em relação a , ou seja, , usando a regra da cadeia. Para isso, vamos precisar conhecer derivadas parciais e a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. A derivada parcial de em relação a , denotada por , é a derivada de tratando como constante. Analogamente, é a derivada de tratando como constante.
Vamos calcular essas derivadas para a função dada:

Passo 3

Agora, aplicamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A regra da cadeia nos diz que a derivada de em relação a é:
Isso significa que precisamos calcular e .
Dado que e , temos:

Passo 4

Agora, substituímos e nas derivadas parciais que calculamos:

Passo 5

Finalmente, aplicamos a regra da cadeia substituindo tudo na expressão de :
Simplificando:

Resposta

A derivada de em relação a é:

Exercícios relacionados

Una montaña tiene forma de un paraboloide elíptico modelizada por la función . El eje x positivo apunta hacia el este y el eje y positivo hacia el norte.
Si un montañista se encuentra en y camina hacia el norte, ¿ascenderá o descenderá? y ¿con qué pendiente?
De entre todas las cajas rectangulares con área total constante e igual a 10 m 2 , hallar las dimensiones de la caja que tiene mayor volumen.
Usar el teorema de Green para calcular donde D es el perímetro de del cuadrado de lados en sentido positivo.
Sea la región del plano encerrada entre las rectas
Expresa D como región de tipo I y como región de tipo II; calcula su área por las dos expresiones
(0.5 puntos)