Sea f / f(x, y) = x^3 + 3 x y^2 - 15 x - 12 y
Si x = 2 t e y = e^t, calcular df/dt utilizando la regla de la cadena.

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede. Temos uma função de duas variáveis, . As variáveis e são expressas em termos de , onde e . Precisamos calcular a derivada de em relação a , ou seja, , usando a regra da cadeia. Para isso, vamos precisar conhecer derivadas parciais e a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. A derivada parcial de em relação a , denotada por , é a derivada de tratando como constante. Analogamente, é a derivada de tratando como constante.
Vamos calcular essas derivadas para a função dada:

Passo 3

Agora, aplicamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A regra da cadeia nos diz que a derivada de em relação a é:
Isso significa que precisamos calcular e .
Dado que e , temos:

Passo 4

Agora, substituímos e nas derivadas parciais que calculamos:

Passo 5

Finalmente, aplicamos a regra da cadeia substituindo tudo na expressão de :
Simplificando:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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