Una montaña tiene forma de un paraboloide elíptico modelizada por la función . El eje x positivo apunta hacia el este y el eje y positivo hacia el norte.
Si un montañista se encuentra en y camina hacia el norte, ¿ascenderá o descenderá? y ¿con qué pendiente?

Passo 1

Vamos resumir o problema. Temos uma montanha com a forma de um paraboloide elíptico, descrita pela função . O montanhista está na posição e vai caminhar para o norte, ou seja, na direção positiva do eixo . Queremos descobrir se ele vai subir ou descer e qual será a inclinação desse movimento. Para resolver isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa caminhar para o norte no contexto desta função. Caminhar para o norte significa aumentar o valor de , mantendo constante. Portanto, queremos saber como a função muda quando aumenta.

Passo 3

Para descobrir se o montanhista vai subir ou descer, calculamos a derivada parcial de em relação a . A derivada parcial nos mostra a taxa de variação de quando apenas muda.

Passo 4

Agora, vamos avaliar essa derivada no ponto :

Passo 5

O resultado da derivada parcial é . Isso significa que, ao aumentar (caminhar para o norte), a função diminui, ou seja, a altura da montanha diminui.

Passo 6

A inclinação do caminho é dada pela derivada parcial. Como a derivada é , a inclinação é unidades de descida por cada unidade de movimento para o norte.

Resposta

O montanhista irá descer com uma inclinação de unidades por unidade de movimento para o norte.

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