Una montaña tiene forma de un paraboloide elíptico modelizada por la función . El eje x positivo apunta hacia el este y el eje y positivo hacia el norte.
Si un montañista se encuentra en y camina hacia el norte, ¿ascenderá o descenderá? y ¿con qué pendiente?
Passo 1
Vamos resumir o problema. Temos uma montanha com a forma de um paraboloide elíptico, descrita pela função . O montanhista está na posição e vai caminhar para o norte, ou seja, na direção positiva do eixo . Queremos descobrir se ele vai subir ou descer e qual será a inclinação desse movimento. Para resolver isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa caminhar para o norte no contexto desta função. Caminhar para o norte significa aumentar o valor de , mantendo constante. Portanto, queremos saber como a função muda quando aumenta.
Passo 3
Para descobrir se o montanhista vai subir ou descer, calculamos a derivada parcial de em relação a . A derivada parcial nos mostra a taxa de variação de quando apenas muda.
Passo 4
Agora, vamos avaliar essa derivada no ponto :
Passo 5
O resultado da derivada parcial é . Isso significa que, ao aumentar (caminhar para o norte), a função diminui, ou seja, a altura da montanha diminui.
Passo 6
A inclinação do caminho é dada pela derivada parcial. Como a derivada é , a inclinação é unidades de descida por cada unidade de movimento para o norte.
Resposta
O montanhista irá descer com uma inclinação de unidades por unidade de movimento para o norte.