De entre todas las cajas rectangulares con área total constante e igual a 10 m 2 , hallar las dimensiones de la caja que tiene mayor volumen.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer encontrar as dimensões de uma caixa retangular que, com uma área total fixa de
, tenha o maior volume possível. Isso envolve conceitos de geometria e otimização, especificamente otimização de funções com restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as fórmulas que vamos precisar. A área total de uma caixa retangular é dada por:
onde
é o comprimento,
a largura e
a altura da caixa.
E o volume da caixa é:
Nosso objetivo é maximizar
sabendo que
.
Passo 3
Vamos usar a restrição da área para expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos resolver a equação da área para
:
Dividindo tudo por 2:
Isolando
:
Passo 4
Agora, substituímos
na equação do volume:
Simplificando:
Essa é a função que queremos maximizar em relação a
e
.
Passo 5
Para simplificar, vamos assumir que a caixa que maximiza o volume é um cubo, ou seja,
. Vamos verificar se essa suposição faz sentido.
Substituindo
na fórmula da área:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora, vamos calcular o volume com essas dimensões:
Resposta
As dimensões da caixa que possuem o maior volume, com área total de
, são aproximadamente:
E o volume máximo é aproximadamente
.
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