De entre todas las cajas rectangulares con área total constante e igual a 10 m 2 , hallar las dimensiones de la caja que tiene mayor volumen.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer encontrar as dimensões de uma caixa retangular que, com uma área total fixa de ², tenha o maior volume possível. Isso envolve conceitos de geometria e otimização, especificamente otimização de funções com restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as fórmulas que vamos precisar. A área total de uma caixa retangular é dada por:
onde é o comprimento, a largura e a altura da caixa.
E o volume da caixa é:
Nosso objetivo é maximizar sabendo que ².

Passo 3

Vamos usar a restrição da área para expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos resolver a equação da área para :
Dividindo tudo por 2:
Isolando :

Passo 4

Agora, substituímos na equação do volume:
Simplificando:
Essa é a função que queremos maximizar em relação a e .

Passo 5

Para simplificar, vamos assumir que a caixa que maximiza o volume é um cubo, ou seja, . Vamos verificar se essa suposição faz sentido.
Substituindo na fórmula da área:
Resolvendo para :

Passo 6

Agora, vamos calcular o volume com essas dimensões:
³

Resposta

As dimensões da caixa que possuem o maior volume, com área total de ², são aproximadamente:
E o volume máximo é aproximadamente ³.

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