[SED7:10 pontos]. Para o campo de velocidade com a velocidade em metros por segundo, solicita-se
[i] considerando que no instante uma partícula passa no ponto ( ) determine a equação da trajetória.
[ii] determine a aceleração da partícula após 5 segundos.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. Temos um campo de velocidade dado por , onde a velocidade está em metros por segundo. O exercício tem duas partes:
  1. Parte [i]: Sabendo que, no instante , uma partícula passa pelo ponto , precisamos encontrar a equação da trajetória dessa partícula.
  2. Parte [ii]: Precisamos determinar a aceleração da partícula após 5 segundos.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial e cinemática, especificamente integrando a função de velocidade para encontrar a posição e depois derivando para achar a aceleração.

Passo 2

Vamos começar com a Parte [i], onde queremos encontrar a equação da trajetória da partícula. A trajetória é basicamente o caminho que a partícula segue no plano.
Sabemos que a posição da partícula em qualquer instante pode ser encontrada integrando a velocidade em relação ao tempo. Ou seja:
Onde é a posição inicial da partícula.

Passo 3

Vamos integrar cada componente da velocidade separadamente.
Primeiro, a componente na direção :
Integrando em relação a :
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, a componente na direção :
Essa é uma equação diferencial que podemos resolver. Vamos rearranjar:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Vamos resolver para :
Podemos chamar de uma nova constante , então:
Para encontrar , usamos a condição inicial :
Então, a equação para é:

Passo 6

Agora, temos as equações parametrizadas para e :
Essas são as equações paramétricas da trajetória da partícula.

Passo 7

Vamos para a Parte [ii], onde precisamos encontrar a aceleração da partícula após 5 segundos.
Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja:

Passo 8

Primeiro, vamos lembrar a expressão da velocidade:
A componente da velocidade, , é constante, então a derivada em relação ao tempo é zero:

Passo 9

Agora, a componente da velocidade:
Então, a aceleração na direção é:
Mas sabemos que , então:

Passo 10

Para encontrar a aceleração após 5 segundos, precisamos do valor de nesse instante. Vamos usar a equação que encontramos para :
Calculando:
Então,

Passo 11

Agora, substituindo na expressão para :

Resposta

[i] A equação da trajetória da partícula é dada por:
[ii] A aceleração da partícula após 5 segundos é aproximadamente na direção .

Exercícios relacionados

Considere um cubo de bronze de de aresta. As forças que atuam no seu centroide são peso, empuxo e uma força externa. Os pesos específicos do cubo de bronze e da água são de 86,9 e , respectivamente. Qual o módulo da força externa requerida para manter o cubo em equilíbrio e completamente submerso, em kN?
Considere uma tubulação de aço cilíndrica com raio interno igual a 1 cm e raio externo igual a . Água quente escoa no interior dessa tubulação na qual a temperatura da superfície interna é . 0 ar ambiente ao redor da tubulação está a . Utilizando os dados fornecidos abaixo, determine o que é pedido.
condutividade térmica do aço:
condutividade térmica do amianto:
coeficiente de transferência de calor por convecção:
Determine o fluxo de calor perdido para o ambiente por unidade de comprimento do duto.
A potência no eixo de um ventilador é 20 kW . A área transversal do duto de entrada é . Na entrada do ventilador há um vácuo de 2,8 mbar. O duto de saída é e a pressão estática na saída do ventilador é de . A vazão do ventilador é . A densidade do ar é assumida como . Calcular:
a) Pressão total produzida pelo ventilador;
b) Potência comunicada ao ar pelo ventilador;
c) Rendimento total do ventilador.
Vento ( ) sopra através de uma turbina eólica de eixo horizontal (TEEH). A turbina tem um diâmetro de 55 m . A eficiência combinada da transmissão e gerador é de . (a) Para um coeficiente de potência realista de , estime a potência elétrica produzida quando o vento sopra com velocidade de . (b) Repita os cálculos usando o limite de Betz assumindo o mesmo conjunto transmissão-gerador e compare com o resultado anterior.