[SED7:10 pontos]. Para o campo de velocidade
com a velocidade em metros por segundo, solicita-se
[i] considerando que no instante
uma partícula passa no ponto (
) determine a equação da trajetória.
[ii] determine a aceleração da partícula após 5 segundos.
[i] considerando que no instante
[ii] determine a aceleração da partícula após 5 segundos.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. Temos um campo de velocidade dado por
, onde a velocidade está em metros por segundo. O exercício tem duas partes:
- Parte [i]: Sabendo que, no instante
, uma partícula passa pelo ponto , precisamos encontrar a equação da trajetória dessa partícula. - Parte [ii]: Precisamos determinar a aceleração da partícula após 5 segundos.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial e cinemática, especificamente integrando a função de velocidade para encontrar a posição e depois derivando para achar a aceleração.
Passo 2
Vamos começar com a Parte [i], onde queremos encontrar a equação da trajetória da partícula. A trajetória é basicamente o caminho que a partícula segue no plano.
Sabemos que a posição da partícula em qualquer instante
pode ser encontrada integrando a velocidade em relação ao tempo. Ou seja:
Onde
é a posição inicial da partícula.
Passo 3
Vamos integrar cada componente da velocidade separadamente.
Primeiro, a componente na direção
:
Integrando em relação a
:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, a componente na direção
:
Essa é uma equação diferencial que podemos resolver. Vamos rearranjar:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Vamos resolver para
:
Podemos chamar
de uma nova constante
, então:
Para encontrar
, usamos a condição inicial
:
Então, a equação para
é:
Passo 6
Agora, temos as equações parametrizadas para
e
:
Essas são as equações paramétricas da trajetória da partícula.
Passo 7
Vamos para a Parte [ii], onde precisamos encontrar a aceleração da partícula após 5 segundos.
Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja:
Passo 8
Primeiro, vamos lembrar a expressão da velocidade:
A componente
da velocidade,
, é constante, então a derivada em relação ao tempo é zero:
Passo 9
Agora, a componente
da velocidade:
Então, a aceleração na direção
é:
Mas sabemos que
, então:
Passo 10
Para encontrar a aceleração após 5 segundos, precisamos do valor de
nesse instante. Vamos usar a equação que encontramos para
:
Calculando:
Então,
Passo 11
Agora, substituindo
na expressão para
:
Resposta
[i] A equação da trajetória da partícula é dada por:
[ii] A aceleração da partícula após 5 segundos é aproximadamente
na direção
.