[SED7:10 pontos]. Para o campo de velocidade V=0,01 times i-0,01 y j com a velocidade em metros por segundo, solicita-se
[i] considerando que no instante t=0 uma partícula passa no ponto ( x0=1 ; y0=3 ) determine a equação da trajetória.
[ii] determine a aceleração da partícula após 5 segundos.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. Temos um campo de velocidade dado por V = 0,01, i - 0,01, y, j, onde a velocidade está em metros por segundo. O exercício tem duas partes:
  1. Parte [i]: Sabendo que, no instante t = 0, uma partícula passa pelo ponto (x0 = 1; y0 = 3), precisamos encontrar a equação da trajetória dessa partícula.
  2. Parte [ii]: Precisamos determinar a aceleração da partícula após 5 segundos.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial e cinemática, especificamente integrando a função de velocidade para encontrar a posição e depois derivando para achar a aceleração.

Passo 2

Vamos começar com a Parte [i], onde queremos encontrar a equação da trajetória da partícula. A trajetória é basicamente o caminho que a partícula segue no plano.
Sabemos que a posição da partícula em qualquer instante t pode ser encontrada integrando a velocidade em relação ao tempo. Ou seja:
r(t) = r0 + integral0^t V, dt
Onde r0 é a posição inicial da partícula.

Passo 3

Vamos integrar cada componente da velocidade separadamente.
Primeiro, a componente na direção x:
Vx = 0,01 implies dxdt = 0,01
Integrando em relação a t:
x(t) = x0 + 0,01, t
Sabemos que x0 = 1, então:
x(t) = 1 + 0,01, t

Passo 4

Agora, a componente na direção y:
Vy = -0,01, y implies dydt = -0,01, y
Essa é uma equação diferencial que podemos resolver. Vamos rearranjar:
dyy = -0,01, dt
Integrando ambos os lados:
ln|y| = -0,01, t + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Vamos resolver para y:
y = e^-0,01, t + C = e^C cdot e^-0,01, t
Podemos chamar e^C de uma nova constante K, então:
y(t) = K, e^-0,01, t
Para encontrar K, usamos a condição inicial y(0) = 3:
3 = K, e^0 implies K = 3
Então, a equação para y(t) é:
y(t) = 3, e^-0,01, t

Passo 6

Agora, temos as equações parametrizadas para x(t) e y(t):
x(t) = 1 + 0,01, t
y(t) = 3, e^-0,01, t
Essas são as equações paramétricas da trajetória da partícula.

Passo 7

Vamos para a Parte [ii], onde precisamos encontrar a aceleração da partícula após 5 segundos.
Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja:
a(t) = dVdt

Passo 8

Primeiro, vamos lembrar a expressão da velocidade:
V = 0,01, i - 0,01, y, j
A componente x da velocidade, Vx = 0,01, é constante, então a derivada em relação ao tempo é zero:
ax = dVxdt = 0

Passo 9

Agora, a componente y da velocidade:
Vy = -0,01, y
Então, a aceleração na direção y é:
ay = dVydt = -0,01, dydt
Mas sabemos que dydt = Vy = -0,01, y, então:
ay = -0,01, (-0,01, y) = 0,0001, y

Passo 10

Para encontrar a aceleração após 5 segundos, precisamos do valor de y nesse instante. Vamos usar a equação que encontramos para y(t):
y(5) = 3, e^-0,01 times 5 = 3, e^-0,05
Calculando:
e^-0,05 approx 0,9512
Então,
y(5) approx 3 times 0,9512 approx 2,8536, metros

Passo 11

Agora, substituindo y(5) na expressão para ay:
ay = 0,0001 times 2,8536 approx 0,00028536, m/s^2

Resposta

[i] A equação da trajetória da partícula é dada por:
x(t) = 1 + 0,01, t
y(t) = 3, e^-0,01, t
[ii] A aceleração da partícula após 5 segundos é aproximadamente 0,000285, m/s^2 na direção y.

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