No que segue, considere a função dada por
.
Sabendo que
Os pontos de máximo e mínimo locais de
:
Sabendo que
Passo 1
Beleza, então vamos lá! O que a gente tem aqui é a função
. A gente quer descobrir onde essa função tem pontos de máximo e mínimo locais. Para isso, vamos usar derivadas, que são ferramentas matemáticas que nos ajudam a entender como uma função está se comportando, tipo onde ela está crescendo ou diminuindo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são aqueles onde a primeira derivada
é zero ou não existe. Esses pontos são candidatos a serem máximos ou mínimos.
A primeira derivada já foi dada:
Vamos resolver
:
Isso acontece quando o numerador é zero:
Como
nunca será zero (porque
é sempre positivo e adicionamos 1), a única solução vem de
:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 3
Agora, vamos usar a segunda derivada
para determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos. A segunda derivada nos ajuda a saber se a curva está “curvada para cima” (mínimo) ou “curvada para baixo” (máximo) no ponto crítico.
A segunda derivada também foi dada:
Vamos avaliar
em
e
:
Para
:
Como
, a função é côncava para cima nesse ponto, indicando um mínimo local.
Para
:
Novamente,
, então também temos um mínimo local nesse ponto.
Resposta
A função
tem pontos de mínimo local em
e
.