No que segue, considere a função dada por f(x)=x^4+1x^2.
Sabendo que
f^prime(x)=2(x^2+1)(x^2-1)x^3 e f^prime prime(x)=2 x^4+6x^4, determine ( caso existam ):
Os pontos de máximo e mínimo locais de f :

Passo 1

Beleza, então vamos lá! O que a gente tem aqui é a função . A gente quer descobrir onde essa função tem pontos de máximo e mínimo locais. Para isso, vamos usar derivadas, que são ferramentas matemáticas que nos ajudam a entender como uma função está se comportando, tipo onde ela está crescendo ou diminuindo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são aqueles onde a primeira derivada f'(x) = 2(x^2 + 1)(x^2 - 1)x^3 é zero ou não existe. Esses pontos são candidatos a serem máximos ou mínimos.
A primeira derivada já foi dada:
2(x^2 + 1)(x^2 - 1)x^3 = 0
Vamos resolver 2(x^2 + 1)(x^2 - 1) = 0 :
x^2 - 1 = 0 implies x^2 = 1 implies x = pm 1
Isso acontece quando o numerador é zero:
Como nunca será zero (porque é sempre positivo e adicionamos 1), a única solução vem de :
Então, os pontos críticos são e .

Passo 3

Agora, vamos usar a segunda derivada f''(x) = 2x^4 + 6x^4 para determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos. A segunda derivada nos ajuda a saber se a curva está “curvada para cima” (mínimo) ou “curvada para baixo” (máximo) no ponto crítico.
A segunda derivada também foi dada:
f''(1) = 2(1)^4 + 6(1)^4 = 2 + 61 = 8
Vamos avaliar f''(-1) = 2(-1)^4 + 6(-1)^4 = 2 + 61 = 8 em e :
Para :
Como , a função é côncava para cima nesse ponto, indicando um mínimo local.
Para :
Novamente, , então também temos um mínimo local nesse ponto.

Resposta

A função tem pontos de mínimo local em e .

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Um tanque de água tem a forma de um cone invertido com altura de 10 metros. A água está sendo bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 3 metros cúbicos por minuto. A que taxa está aumentando o nível da água quando a altura da água é de 4 metros? (Dica: O volume de um cone é dado por V = (1/3) pi r^2 h, onde r é o raio da base do cone e h é a altura.) (Até 4 pontos)
Utilize La) 0
b) 1/2
c) 1/3
d) -infinito
e) infinito
No que segue, considere a função dada por f(x)=x^4+1x^2.
Sabendo que
f^prime(x)=2(x^2+1)(x^2-1)x^3 e f^prime prime(x)=2 x^4+6x^4, determine ( caso existam ):
Os intervalos de concavidade de f :
No que segue, considere a função dada por f(x)=x^4+1x^2.
Sabendo que
f^prime(x)=2(x^2+1)(x^2-1)x^3 e f^prime prime(x)=2 x^4+6x^4, determine ( caso existam ):
A(s) assíntota(s) horizontais e verticais do gráfico de f :