No que segue, considere a função dada por
.
Sabendo que
Os pontos de máximo e mínimo locais de
:
Sabendo que
Passo 1
Beleza, então vamos lá! O que a gente tem aqui é a função
. A gente quer descobrir onde essa função tem pontos de máximo e mínimo locais. Para isso, vamos usar derivadas, que são ferramentas matemáticas que nos ajudam a entender como uma função está se comportando, tipo onde ela está crescendo ou diminuindo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são aqueles onde a primeira derivada
é zero ou não existe. Esses pontos são candidatos a serem máximos ou mínimos.
A primeira derivada já foi dada:
Vamos resolver
:
Isso acontece quando o numerador é zero:
Como
nunca será zero (porque
é sempre positivo e adicionamos 1), a única solução vem de
:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 3
Agora, vamos usar a segunda derivada
para determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos. A segunda derivada nos ajuda a saber se a curva está “curvada para cima” (mínimo) ou “curvada para baixo” (máximo) no ponto crítico.
A segunda derivada também foi dada:
Vamos avaliar
em
e
:
Para
:
Como
, a função é côncava para cima nesse ponto, indicando um mínimo local.
Para
:
Novamente,
, então também temos um mínimo local nesse ponto.
Resposta
A função
tem pontos de mínimo local em
e
.
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Um tanque de água tem a forma de um cone invertido com altura de 10 metros. A água está sendo bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 3 metros cúbicos por minuto. A que taxa está aumentando o nível da água quando a altura da água é de 4 metros? (Dica: O volume de um cone é dado por
, onde
é o raio da base do cone e
é a altura.) (Até 4 pontos)
Utilize La) 0
b)
c)
d)
e)
b)
c)
d)
e)
No que segue, considere a função dada por
.
Sabendo que
Sabendo que
Os intervalos de concavidade de
:
No que segue, considere a função dada por
.
Sabendo que
Sabendo que
A(s) assíntota(s) horizontais e verticais do gráfico de
: