No que segue, considere a função dada por
.
Sabendo que
A(s) assíntota(s) horizontais e verticais do gráfico de
:
Sabendo que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e queremos encontrar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar entender o que são essas assíntotas e como identificar onde elas aparecem no gráfico de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre assíntotas verticais. Essas ocorrem nos pontos onde a função tende ao infinito, ou seja, onde o denominador da fração se aproxima de zero enquanto o numerador não é zero. Na nossa função, o denominador é
. Vamos ver onde ele é igual a zero:
Resolvendo essa equação, encontramos:
Então, temos uma possível assíntota vertical em
.
Passo 3
Agora, para confirmar se realmente existe uma assíntota vertical em
, vamos analisar o comportamento da função quando
se aproxima de 0 pela direita e pela esquerda.
Se
se aproxima de 0 pela direita (
):
Se
se aproxima de 0 pela esquerda (
):
Em ambos os casos, a função tende ao infinito quando
se aproxima de 0. Portanto, existe uma assíntota vertical em
.
Passo 4
Agora vamos procurar as assíntotas horizontais. Essas ocorrem quando o valor da função se aproxima de um número finito à medida que
tende ao infinito positivo ou negativo. Para encontrar isso, vamos analisar o limite de
quando
tende a
e quando tende a
.
Vamos simplificar a função para facilitar:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando
tende a
:
E o limite quando
tende a
:
Passo 6
Como os limites de
quando
tende a
e
são ambos infinitos, isso significa que a função não se aproxima de nenhum valor finito. Portanto, não existem assíntotas horizontais para essa função.
Resposta
A função
possui uma assíntota vertical em
e não possui assíntotas horizontais.
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.
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:
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.
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:
Encontre uma equação da reta tangente à curva e faça o gráfico da equação e da reta tangente no ponto dado.
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