No que segue, considere a função dada por f(x)=x^4+1x^2.
Sabendo que
f^prime(x)=2(x^2+1)(x^2-1)x^3 e f^prime prime(x)=2 x^4+6x^4, determine ( caso existam ):
A(s) assíntota(s) horizontais e verticais do gráfico de f :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e queremos encontrar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar entender o que são essas assíntotas e como identificar onde elas aparecem no gráfico de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre assíntotas verticais. Essas ocorrem nos pontos onde a função tende ao infinito, ou seja, onde o denominador da fração se aproxima de zero enquanto o numerador não é zero. Na nossa função, o denominador é x^2 = 0 . Vamos ver onde ele é igual a zero:
x = 0
Resolvendo essa equação, encontramos:
Então, temos uma possível assíntota vertical em .

Passo 3

Agora, para confirmar se realmente existe uma assíntota vertical em f(x) = x^4 + 1x^2 approx 1x^2 to +infty , vamos analisar o comportamento da função quando f(x) = x^4 + 1x^2 approx 1x^2 to +infty se aproxima de 0 pela direita e pela esquerda.
Se se aproxima de 0 pela direita ( ):
Se se aproxima de 0 pela esquerda ( ):
Em ambos os casos, a função tende ao infinito quando se aproxima de 0. Portanto, existe uma assíntota vertical em .

Passo 4

Agora vamos procurar as assíntotas horizontais. Essas ocorrem quando o valor da função se aproxima de um número finito à medida que f(x) = x^4 + 1x^2 = x^2 + 1x^2 tende ao infinito positivo ou negativo. Para encontrar isso, vamos analisar o limite de quando tende a e quando tende a .
Vamos simplificar a função para facilitar:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando limx to infty ( x^2 + 1x^2 ) = infty + 0 = infty tende a limx to -infty ( x^2 + 1x^2 ) = infty + 0 = infty :
E o limite quando tende a :

Passo 6

Como os limites de quando tende a e são ambos infinitos, isso significa que a função não se aproxima de nenhum valor finito. Portanto, não existem assíntotas horizontais para essa função.

Resposta

A função possui uma assíntota vertical em e não possui assíntotas horizontais.

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