No que segue, considere a função dada por f(x)=x^4+1x^2.
Sabendo que
f^prime(x)=2(x^2+1)(x^2-1)x^3 e f^prime prime(x)=2 x^4+6x^4, determine ( caso existam ):
Os intervalos de concavidade de f :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá a função e suas derivadas primeira e segunda. O que a gente precisa encontrar são os intervalos de concavidade dessa função. Para isso, vamos usar o conceito de derivada segunda na matéria de Cálculo Diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é concavidade. A concavidade de uma função é determinada pelo sinal da sua segunda derivada:
  • Se , a função é côncava para cima.
  • Se , a função é côncava para baixo.
Então, nosso objetivo é analisar o sinal da segunda derivada .

Passo 3

Vamos simplificar a expressão de f''(x) = 2x^4 + 6x^4 = 2 + 6x^4 :
Aqui, a gente separou os termos para facilitar a análise.

Passo 4

Agora, vamos analisar os termos individualmente:
  • O primeiro termo é 2, que é sempre positivo.
  • O segundo termo é . Como é elevado a uma potência par, ele sempre é positivo para qualquer .
Portanto, para todo .

Passo 5

Somando os dois termos, temos:
f''(x) = 2 + 6x^4 > 0 + 0 = 0
Logo, é sempre positivo onde está definida, ou seja, para todo .

Passo 6

Como em todo o domínio da função, concluímos que a função é côncava para cima em todos os intervalos onde está definida. A função não existe em porque o denominador se anula.

Resposta

Os intervalos de concavidade de são e .

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