No que segue, considere a função dada por
.
Sabendo que
Os intervalos de concavidade de
:
Sabendo que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá a função
e suas derivadas primeira e segunda. O que a gente precisa encontrar são os intervalos de concavidade dessa função. Para isso, vamos usar o conceito de derivada segunda na matéria de Cálculo Diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é concavidade. A concavidade de uma função é determinada pelo sinal da sua segunda derivada:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo.
Então, nosso objetivo é analisar o sinal da segunda derivada
.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão de
:
Aqui, a gente separou os termos para facilitar a análise.
Passo 4
Agora, vamos analisar os termos individualmente:
- O primeiro termo é 2, que é sempre positivo.
- O segundo termo é
. Como é elevado a uma potência par, ele sempre é positivo para qualquer .
Portanto,
para todo
.
Passo 5
Somando os dois termos, temos:
Logo,
é sempre positivo onde está definida, ou seja, para todo
.
Passo 6
Como
em todo o domínio da função, concluímos que a função
é côncava para cima em todos os intervalos onde está definida. A função não existe em
porque o denominador se anula.
Resposta
Os intervalos de concavidade de
são
e
.
Exercícios relacionados
No que segue, considere a função dada por
.
Sabendo que
Sabendo que
Os pontos de máximo e mínimo locais de
:
Um tanque de água tem a forma de um cone invertido com altura de 10 metros. A água está sendo bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 3 metros cúbicos por minuto. A que taxa está aumentando o nível da água quando a altura da água é de 4 metros? (Dica: O volume de um cone é dado por
, onde
é o raio da base do cone e
é a altura.) (Até 4 pontos)
No que segue, considere a função dada por
.
Sabendo que
Sabendo que
A(s) assíntota(s) horizontais e verticais do gráfico de
:
Encontre uma equação da reta tangente à curva e faça o gráfico da equação e da reta tangente no ponto dado.