Um tanque de água tem a forma de um cone invertido com altura de 10 metros. A água está sendo bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 3 metros cúbicos por minuto. A que taxa está aumentando o nível da água quando a altura da água é de 4 metros? (Dica: O volume de um cone é dado por
, onde
é o raio da base do cone e
é a altura.) (Até 4 pontos)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um tanque em forma de cone invertido com altura total de 10 metros. A água está sendo bombeada para dentro desse tanque a uma taxa de 3 metros cúbicos por minuto. Queremos descobrir quão rápido o nível da água está aumentando quando a altura da água chega a 4 metros.
Conteúdo da matéria: Este problema envolve cálculo relacionado a taxas de variação, especificamente derivadas. Vamos usar a fórmula do volume de um cone e relacionar as taxas de variação do volume e da altura da água.
O que vamos precisar:
- Fórmula do volume do cone:
- Relacionar o raio
com a altura do tanque. - Derivar a expressão do volume em relação ao tempo para encontrar a taxa de variação da altura.
Passo 2
Primeiro, precisamos relacionar o raio
da base do cone com a altura
da água. Como o tanque é um cone invertido, a relação entre
e
permanece proporcional.
Sabemos que quando a altura total do tanque é 10 metros, o raio correspondente também é proporcional. Suponha que o raio total do tanque seja
. Então:
No entanto, como não foi dado o valor de
, mas sabemos que a forma do tanque é similar para qualquer nível de água, podemos usar essa relação para expressar
em termos de
.
Passo 3
Vamos expressar
em função de
:
Substituindo
na fórmula do volume:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos derivar a expressão do volume em relação ao tempo
para encontrar a relação entre a taxa de variação do volume
e a taxa de variação da altura
:
Simplificando:
Sabemos que
m³/min e
m. Substituindo esses valores:
Passo 5
Agora, resolvemos para
:
Como não temos o valor de
, assumimos que
é conhecido ou fornecido no problema. Caso contrário, precisaríamos de mais informações para determinar
.
Resposta
A taxa de aumento do nível da água quando a altura é de 4 metros é
metros por minuto.
Exercícios relacionados
Utilize La) 0
b)
c)
d)
e)
b)
c)
d)
e)
Considere a função
em
. Sejam
os pontos onde
assume os valores de máximo (global) e mínimo (global), respectivamente. Podemos afirmar que o valor da soma
vale:
(Até 4 pontos)
a)
b) -1
c)
d) 0
e) 1
(Até 4 pontos)
a)
b) -1
c)
d) 0
e) 1
No que segue, considere a função dada por
.
Sabendo que
Sabendo que
Os pontos de máximo e mínimo locais de
:
No que segue, considere a função dada por
.
Sabendo que
Sabendo que
Os intervalos de concavidade de
: