Um tanque de água tem a forma de um cone invertido com altura de 10 metros. A água está sendo bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 3 metros cúbicos por minuto. A que taxa está aumentando o nível da água quando a altura da água é de 4 metros? (Dica: O volume de um cone é dado por V = (1/3) pi r^2 h, onde r é o raio da base do cone e h é a altura.) (Até 4 pontos)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um tanque em forma de cone invertido com altura total de 10 metros. A água está sendo bombeada para dentro desse tanque a uma taxa de 3 metros cúbicos por minuto. Queremos descobrir quão rápido o nível da água está aumentando quando a altura da água chega a 4 metros.
Conteúdo da matéria: Este problema envolve cálculo relacionado a taxas de variação, especificamente derivadas. Vamos usar a fórmula do volume de um cone e relacionar as taxas de variação do volume e da altura da água.
O que vamos precisar:
  • Fórmula do volume do cone:
  • Relacionar o raio com a altura do tanque.
  • Derivar a expressão do volume em relação ao tempo para encontrar a taxa de variação da altura.

Passo 2

Primeiro, precisamos relacionar o raio da base do cone com a altura da água. Como o tanque é um cone invertido, a relação entre e permanece proporcional.
Sabemos que quando a altura total do tanque é 10 metros, o raio correspondente também é proporcional. Suponha que o raio total do tanque seja . Então:
No entanto, como não foi dado o valor de , mas sabemos que a forma do tanque é similar para qualquer nível de água, podemos usar essa relação para expressar em termos de .

Passo 3

Vamos expressar em função de :
Substituindo na fórmula do volume:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos derivar a expressão do volume em relação ao tempo para encontrar a relação entre a taxa de variação do volume e a taxa de variação da altura :
Simplificando:
Sabemos que m³/min e m. Substituindo esses valores:

Passo 5

Agora, resolvemos para :
Como não temos o valor de , assumimos que é conhecido ou fornecido no problema. Caso contrário, precisaríamos de mais informações para determinar .

Resposta

A taxa de aumento do nível da água quando a altura é de 4 metros é metros por minuto.

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