No que segue, k e alpha neq-1 representarão constantes reais e h(x)>0, forall x in R. Sem fazer contas, diga qual é a primitiva da função em cada um dos seguintes casos:
(3,0 pontos ) integral sec (x) d x

Passo 1

Beleza, temos um exercício de cálculo que pede pra encontrar a primitiva da função sec(x). Ou seja, queremos achar uma função cuja derivada seja sec(x). Para isso, vamos usar o conteúdo sobre integrais e primitivas. Precisamos saber técnicas de integração para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, é bom lembrar que integrar sec(x) pode não ser tão direto quanto parece. A gente precisa usar uma estratégia especial. A técnica que vamos usar envolve multiplicar e dividir a função por (sec(x) + tan(x)) para facilitar a integração.

Passo 3

Vamos considerar que a derivada de ln|sec(x) + tan(x)| nos dá exatamente sec(x). Isso porque, ao derivar essa expressão, usamos a regra da cadeia e obtemos sec(x) de volta. Portanto, a primitiva de sec(x) é essa função logaritmica.

Resposta

A primitiva de sec(x) é ln|sec(x) + tan(x)| + C, onde C é a constante de integração.

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