No que segue, k e alpha neq-1 representarão constantes reais e h(x)>0, forall x in R. Sem fazer contas, diga qual é a primitiva da função em cada um dos seguintes casos:
(3,0 pontos ) integral f^prime(g(x)) g^prime(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que achar a primitiva (ou antiderivada) da função . Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo de integrais, mais especificamente à regra da cadeia na integração. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma primitiva. A primitiva de uma função é outra função cuja derivada é a função original. Ou seja, se é a primitiva de , então .

Passo 3

Agora, observamos que a expressão dentro da integral tem a forma ddx f(g(x)) = f^prime(g(x)) cdot g^prime(x) . Isso se parece muito com a derivada de uma função composta . De fato, pela regra da cadeia, sabemos que:
Isso significa que a derivada de é exatamente a função que estamos integrando.

Passo 4

Então, se a derivada de é , a primitiva dessa função será simplesmente . Não precisamos complicar mais!

Resposta

A primitiva de f(g(x)) + C é:
onde é a constante de integração.

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