No que segue, k e alpha neq-1 representarão constantes reais e h(x)>0, forall x in R. Sem fazer contas, diga qual é a primitiva da função em cada um dos seguintes casos:
(3,0 pontos ) integral x^alpha d x

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é uma integral de uma função do tipo , onde é uma constante que não pode ser igual a -1. O assunto que vamos usar é a regra de integração de potências, que nos ajuda a achar a primitiva (ou antiderivada) desse tipo de função sem precisar fazer cálculos complicados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a regra de integração para funções potências. Quando a gente tem uma função integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C , onde é qualquer número real diferente de -1, a primitiva dessa função é dada por:
Aqui, é a constante de integração, que é importante porque as primitivas não são únicas – elas podem variar por uma constante.

Passo 3

No nosso caso, integral x^alpha , dx = x^alpha+1alpha+1 + C é igual a . Então, aplicando a regra que a gente viu, a primitiva de vai ser:
Lembrando que isso só vale se , que é justamente o caso dado no enunciado.

Resposta

A primitiva de x^alpha+1alpha+1 + C é

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