No que segue, k e alpha neq-1 representarão constantes reais e h(x)>0, forall x in R. Sem fazer contas, diga qual é a primitiva da função em cada um dos seguintes casos:
(3,0 pontos ) integral h(x)^g(x)[g(x) ln (h(x))]^prime d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a primitiva (ou antiderivada) da função . Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente sobre antiderivadas. Para resolver, vamos precisar entender como as regras de derivação e integração se relacionam, especialmente a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da integral: multiplicado pela derivada de , ou seja, .

Passo 3

Vamos calcular [g(x) ln(h(x))]' = g'(x) ln(h(x)) + g(x) cdot h'(x)h(x) . Aplicando a regra do produto:
Mas, como o enunciado pede para não fazer contas, vamos focar no que isso representa.

Passo 4

Observamos que a expressão ddx h(x)^g(x) = h(x)^g(x) cdot [g'(x) ln(h(x)) + g(x) cdot h'(x)h(x)] é uma função composta, onde está no expoente de . Sabemos que a derivada de em relação a é:
Isso parece muito com a nossa função dentro da integral!

Passo 5

Então, percebemos que:
ddx h(x)^g(x) = h(x)^g(x) [g(x) ln(h(x))]'
Ou seja, a função que estamos integrando é exatamente a derivada de .

Resposta

Portanto, a primitiva da função dada é:
h(x)^g(x) + C
onde é a constante de integração.

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