No que segue,
e
representarão constantes reais e
. Sem fazer contas, diga qual é a primitiva da função em cada um dos seguintes casos:
pontos
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a primitiva (ou antiderivada) da função
. Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente sobre antiderivadas. Para resolver, vamos precisar entender como as regras de derivação e integração se relacionam, especialmente a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da integral:
multiplicado pela derivada de
, ou seja,
.
Passo 3
Vamos calcular
. Aplicando a regra do produto:
Mas, como o enunciado pede para não fazer contas, vamos focar no que isso representa.
Passo 4
Observamos que a expressão
é uma função composta, onde
está no expoente de
. Sabemos que a derivada de
em relação a
é:
Isso parece muito com a nossa função dentro da integral!
Passo 5
Então, percebemos que:
Ou seja, a função que estamos integrando é exatamente a derivada de
.
Resposta
Portanto, a primitiva da função dada é:
onde
é a constante de integração.