No que segue, e representarão constantes reais e . Sem fazer contas, diga qual é a primitiva da função em cada um dos seguintes casos:
pontos

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo: precisamos encontrar a primitiva, ou seja, a antiderivada da função para todo . Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo integral, especificamente as regras de integração de potências de .

Passo 2

Primeiro, lembramos que a primitiva de uma função é outra função cuja derivada é a função original. Para funções do tipo , onde é uma constante, usamos a regra de potência para integração.

Passo 3

A regra geral para integrar é:
Essa fórmula nos diz como encontrar a antiderivada de quando não é igual a -1.

Passo 4

No nosso caso, temos . Ao substituir na regra geral, teríamos uma divisão por zero, já que . Isso significa que a regra de potência não pode ser usada quando .

Passo 5

Quando , a primitiva de é diferente. Nesse caso, usamos a função logaritmo natural. A antiderivada é:
Como estamos considerando que , podemos simplificar para:

Resposta

A primitiva de para é .

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No que segue, e representarão constantes reais e . Sem fazer contas, diga qual é a primitiva da função em cada um dos seguintes casos:
pontos .
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pontos
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pontos
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pontos