No que segue, k e alpha neq-1 representarão constantes reais e h(x)>0, forall x in R. Sem fazer contas, diga qual é a primitiva da função em cada um dos seguintes casos:
(3,0 pontos ) integral x^-1 d x, x>0

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo: precisamos encontrar a primitiva, ou seja, a antiderivada da função para todo . Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo integral, especificamente as regras de integração de potências de .

Passo 2

Primeiro, lembramos que a primitiva de uma função é outra função cuja derivada é a função original. Para funções do tipo , onde é uma constante, usamos a regra de potência para integração.

Passo 3

A regra geral para integrar integral x^k , dx = x^k+1k+1 + C, onde k neq -1 é:
Essa fórmula nos diz como encontrar a antiderivada de quando não é igual a -1.

Passo 4

No nosso caso, temos . Ao substituir na regra geral, teríamos uma divisão por zero, já que . Isso significa que a regra de potência não pode ser usada quando .

Passo 5

Quando integral x^-1 , dx = ln|x| + C , a primitiva de ln x + C é diferente. Nesse caso, usamos a função logaritmo natural. A antiderivada é:
Como estamos considerando que , podemos simplificar para:

Resposta

A primitiva de para é .

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