Seguindo as etapas vistas no material, fazer um esboço do gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que fazer um esboço do gráfico da função
. Isso faz parte da matéria de análise de funções, mais especificamente de funções polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar encontrar pontos importantes como interceptos, derivadas para entender o crescimento e decrescimento da função, e analisar o comportamento dela quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os interceptos da função, ou seja, onde ela cruza os eixos
e
.
-
Intercepto com o eixo
: Para achar isso, vamos colocar na função: Então, o intercepto com o eixoé . -
Interceptos com o eixo
: Aqui, colocamos e resolvemos para : Podemos fatorar: Agora, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:Aproximadamente, temos dois valores de: Então, os interceptos com o eixosão aproximadamente e .
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada da função para entender onde ela está crescendo ou decrescendo, e encontrar os pontos de máximo e mínimo.
A derivada de
em relação a
é:
Vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Dividindo toda a equação por 6:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então,
e
.
Para encontrar os valores de
nesses pontos:
-
Para
: Ponto: -
Para
: Ponto:
Passo 4
Vamos analisar o comportamento da função para
tendendo a infinito positivo e negativo.
Como o termo de maior grau é
:
- Quando
, - Quando
,
Isso nos diz que o gráfico irá para cima à direita e para baixo à esquerda.
Passo 5
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Intercepto no ponto
- Interceptos com o eixo
em e - Pontos críticos em
e - Comportamento da função indo para cima à direita e para baixo à esquerda
Isso nos ajuda a desenhar uma curva que passa por esses pontos, com uma curva descendente até
, subindo até
, e continuando conforme o comportamento assintótico.
Resposta
O esboço do gráfico da função
apresenta interceptos nos pontos
,
, e
, possui pontos críticos em
e
, e tende a
quando
vai para
e a
quando
vai para
, formando uma curva que desce até
, sobe até
, e segue conforme o comportamento assintótico.
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