Seguindo as etapas vistas no material, fazer um esboço do gráfico das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que fazer um esboço do gráfico da função . Isso faz parte da matéria de análise de funções, mais especificamente de funções polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar encontrar pontos importantes como interceptos, derivadas para entender o crescimento e decrescimento da função, e analisar o comportamento dela quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os interceptos da função, ou seja, onde ela cruza os eixos e .
  • Intercepto com o eixo : Para achar isso, vamos colocar na função:
    Então, o intercepto com o eixo é .
  • Interceptos com o eixo : Aqui, colocamos e resolvemos para :
    Podemos fatorar :
    Agora, resolvemos a equação quadrática :
    Usando a fórmula de Bhaskara:
    Aproximadamente, temos dois valores de :
    Então, os interceptos com o eixo são aproximadamente e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da função para entender onde ela está crescendo ou decrescendo, e encontrar os pontos de máximo e mínimo.
A derivada de em relação a é:
Vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Dividindo toda a equação por 6:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, e .
Para encontrar os valores de nesses pontos:
  • Para :
    Ponto:
  • Para :
    Ponto:

Passo 4

Vamos analisar o comportamento da função para tendendo a infinito positivo e negativo.
Como o termo de maior grau é :
  • Quando ,
  • Quando ,
Isso nos diz que o gráfico irá para cima à direita e para baixo à esquerda.

Passo 5

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • Intercepto no ponto
  • Interceptos com o eixo em e
  • Pontos críticos em e
  • Comportamento da função indo para cima à direita e para baixo à esquerda
Isso nos ajuda a desenhar uma curva que passa por esses pontos, com uma curva descendente até , subindo até , e continuando conforme o comportamento assintótico.

Resposta

O esboço do gráfico da função apresenta interceptos nos pontos , , e , possui pontos críticos em e , e tende a quando vai para e a quando vai para , formando uma curva que desce até , sobe até , e segue conforme o comportamento assintótico.

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Seguindo as etapas vistas no material, fazer um esboço do gráfico das seguintes funções:
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