Quais dos seguintes conjuntos são subanéis e / ou ideais dos anéis indicados.
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está perguntando se o conjunto
é um subanel ou um ideal do anel
. Então, vamos falar sobre subanéis e ideais de anéis, que são conceitos importantes na álgebra abstrata. Vamos precisar verificar se
satisfaz as propriedades necessárias para ser um subanel e um ideal dentro dos inteiros com as operações de adição e multiplicação usuais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um subanel. Um subanel de um anel
é um subconjunto
de
que, por si só, forma um anel com as mesmas operações de
. Para ser um subanel,
precisa satisfazer três propriedades:
- Fechamento pela adição e multiplicação: Se
e estão em , então e também estão em . - Existência do elemento neutro da adição: O zero de
deve estar em . - Existência dos inversos aditivos: Para todo
em , o inverso também deve estar em .
Vamos verificar se
satisfaz essas propriedades.
Passo 3
1. Fechamento pela adição:
Vamos pegar dois elementos quaisquer de . Seja
e
, onde
.
Somando: .
Observamos que é um múltiplo de 2, ou seja, é par. Porém,
contém apenas números da forma
, que são ímpares. Portanto,
não está em
.
Vamos pegar dois elementos quaisquer de
Somando:
Observamos que
Conclusão:
não é fechado pela adição.
Passo 4
Já que
não é fechado pela adição, não precisamos verificar as outras propriedades para ser um subanel. Porém, vamos ainda conferir a presença do elemento neutro da adição.
2. Elemento neutro da adição:
O elemento neutro da adição em é 0. Vamos ver se 0 está em
:
Precisamos encontrar um inteiro tal que
.
Resolvendo: , que não é um inteiro.
Portanto, 0 não está em .
O elemento neutro da adição em
Precisamos encontrar um inteiro
Resolvendo:
Portanto, 0 não está em
Conclusão:
não contém o elemento neutro da adição.
Passo 5
Agora, vamos verificar se
é um ideal de
. Um ideal de um anel
é um subanel
que tem a propriedade adicional de que, para todo
e
,
também está em
.
No caso dos inteiros
, todos os ideais são gerados por um único inteiro, ou seja, são da forma
para algum
. Vamos comparar
com essa estrutura.
Os elementos de
são números ímpares, mas os ideais de
são conjuntos de múltiplos de um número fixo. O conjunto
não pode ser expresso como múltiplos de um único inteiro, já que inclui tanto números positivos quanto negativos e não é fechado pela adição, como vimos antes.
Conclusão:
não é um ideal de
.
Resposta
O conjunto
não é subanel nem ideal do anel
.
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Verifique se as funções abaixo são transformações lineares:
definida por
;
Seja
um anel comutativo com unidade. Prove que:
c) Se o produto de dois elementos de é um divisor de zero então algum dos fatores o é.
c) Se o produto de dois elementos de
Seja
um anel comutativo com unidade. Prove que:
d) A soma de dois divisores de zero pode não ser um divisor de zero.
d) A soma de dois divisores de zero pode não ser um divisor de zero.
Quais dos seguintes conjuntos são subanéis e / ou ideais dos anéis indicados.
c) em
.
c)