Quais dos seguintes conjuntos são subanéis e / ou ideais dos anéis indicados.
b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está perguntando se o conjunto é um subanel ou um ideal do anel . Então, vamos falar sobre subanéis e ideais de anéis, que são conceitos importantes na álgebra abstrata. Vamos precisar verificar se satisfaz as propriedades necessárias para ser um subanel e um ideal dentro dos inteiros com as operações de adição e multiplicação usuais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um subanel. Um subanel de um anel é um subconjunto de que, por si só, forma um anel com as mesmas operações de . Para ser um subanel, precisa satisfazer três propriedades:
  1. Fechamento pela adição e multiplicação: Se e estão em , então e também estão em .
  2. Existência do elemento neutro da adição: O zero de deve estar em .
  3. Existência dos inversos aditivos: Para todo em , o inverso também deve estar em .
Vamos verificar se satisfaz essas propriedades.

Passo 3

1. Fechamento pela adição:
Vamos pegar dois elementos quaisquer de . Seja e , onde .
Somando: .
Observamos que é um múltiplo de 2, ou seja, é par. Porém, contém apenas números da forma , que são ímpares. Portanto, não está em .
Conclusão: não é fechado pela adição.

Passo 4

Já que não é fechado pela adição, não precisamos verificar as outras propriedades para ser um subanel. Porém, vamos ainda conferir a presença do elemento neutro da adição.
2. Elemento neutro da adição:
O elemento neutro da adição em é 0. Vamos ver se 0 está em :
Precisamos encontrar um inteiro tal que .
Resolvendo: , que não é um inteiro.
Portanto, 0 não está em .
Conclusão: não contém o elemento neutro da adição.

Passo 5

Agora, vamos verificar se é um ideal de . Um ideal de um anel é um subanel que tem a propriedade adicional de que, para todo e , também está em .
No caso dos inteiros , todos os ideais são gerados por um único inteiro, ou seja, são da forma para algum . Vamos comparar com essa estrutura.
Os elementos de são números ímpares, mas os ideais de são conjuntos de múltiplos de um número fixo. O conjunto não pode ser expresso como múltiplos de um único inteiro, já que inclui tanto números positivos quanto negativos e não é fechado pela adição, como vimos antes.
Conclusão: não é um ideal de .

Resposta

O conjunto não é subanel nem ideal do anel .

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Verifique se as funções abaixo são transformações lineares:
definida por ;
Seja um anel comutativo com unidade. Prove que:
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Seja um anel comutativo com unidade. Prove que:
d) A soma de dois divisores de zero pode não ser um divisor de zero.
Quais dos seguintes conjuntos são subanéis e / ou ideais dos anéis indicados.
c) em .