Seja (A,+, cdot) um anel comutativo com unidade. Prove que:
d) A soma de dois divisores de zero pode não ser um divisor de zero.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para provar que, em um anel comutativo com unidade, a soma de dois divisores de zero pode não ser um divisor de zero. Aqui, vamos trabalhar com conceitos de álgebra abstrata, especificamente sobre anéis e divisores de zero. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são divisores de zero e como eles se comportam dentro de diferentes anéis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um divisor de zero. Em um anel (A, +, cdot), um elemento a in A é chamado de divisor de zero se existir um elemento b in A, diferente de zero, tal que a cdot b = 0. Ou seja, multiplicar a por algum elemento não nulo resulta em zero.

Passo 3

Nosso objetivo é mostrar que a soma de dois divisores de zero não necessariamente é um divisor de zero. Para isso, precisamos encontrar um exemplo específico de um anel comutativo com unidade onde temos dois divisores de zero cuja soma não é divisor de zero.

Passo 4

Vamos considerar o anel dos números inteiros módulo 6, denotado por Z6. Este anel é comutativo e possui unidade, já que o elemento 1 é a unidade multiplicativa.

Passo 5

Vamos identificar os divisores de zero em Z6. Um elemento a in Z6 é divisor de zero se existir b in Z6, b neq 0, tal que a cdot b equiv 0 pmod6. Verificando, vemos que:
  • 2 cdot 3 = 6 equiv 0 pmod6, então 2 e 3 são divisores de zero.
  • 4 cdot 3 = 12 equiv 0 pmod6, então 4 também é divisor de zero.

Passo 6

Agora, vamos somar dois divisores de zero em Z6. Vamos somar 2 e 4:
2 + 4 = 6 equiv 0 pmod6
O elemento 0 também é considerado um divisor de zero, já que 0 cdot a = 0 para qualquer a in Z6.

Passo 7

Para que a soma de dois divisores de zero não seja um divisor de zero, precisamos de um exemplo onde a soma não é zero e não satisfaz a condição de divisor de zero. Vamos considerar os divisores de zero 2 e 3 em Z6:
2 + 3 = 5 pmod6
Agora, verificamos se 5 é um divisor de zero:
- 5 cdot 1 = 5 notequiv 0 pmod6
- 5 cdot 2 = 10 equiv 4 pmod6
- 5 cdot 3 = 15 equiv 3 pmod6
- 5 cdot 4 = 20 equiv 2 pmod6
- 5 cdot 5 = 25 equiv 1 pmod6
Nenhum desses resultados é igual a 0, exceto quando multiplicamos por 0, que não conta para ser divisor de zero. Portanto, 5 não é um divisor de zero.

Resposta

Demonstramos que na estrutura do anel Z6, a soma de dois divisores de zero (como 2 e 3) resulta em 5, que não é um divisor de zero. Assim, provamos que a soma de dois divisores de zero pode não ser um divisor de zero.

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