Seja um anel comutativo com unidade. Prove que:
d) A soma de dois divisores de zero pode não ser um divisor de zero.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para provar que, em um anel comutativo com unidade, a soma de dois divisores de zero pode não ser um divisor de zero. Aqui, vamos trabalhar com conceitos de álgebra abstrata, especificamente sobre anéis e divisores de zero. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são divisores de zero e como eles se comportam dentro de diferentes anéis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um divisor de zero. Em um anel , um elemento é chamado de divisor de zero se existir um elemento , diferente de zero, tal que . Ou seja, multiplicar por algum elemento não nulo resulta em zero.

Passo 3

Nosso objetivo é mostrar que a soma de dois divisores de zero não necessariamente é um divisor de zero. Para isso, precisamos encontrar um exemplo específico de um anel comutativo com unidade onde temos dois divisores de zero cuja soma não é divisor de zero.

Passo 4

Vamos considerar o anel dos números inteiros módulo 6, denotado por . Este anel é comutativo e possui unidade, já que o elemento 1 é a unidade multiplicativa.

Passo 5

Vamos identificar os divisores de zero em . Um elemento é divisor de zero se existir , , tal que . Verificando, vemos que:
  • , então 2 e 3 são divisores de zero.
  • , então 4 também é divisor de zero.

Passo 6

Agora, vamos somar dois divisores de zero em . Vamos somar 2 e 4:

O elemento 0 também é considerado um divisor de zero, já que para qualquer .

Passo 7

Para que a soma de dois divisores de zero não seja um divisor de zero, precisamos de um exemplo onde a soma não é zero e não satisfaz a condição de divisor de zero. Vamos considerar os divisores de zero 2 e 3 em :

Agora, verificamos se 5 é um divisor de zero:
-
-
-
-
-
Nenhum desses resultados é igual a 0, exceto quando multiplicamos por 0, que não conta para ser divisor de zero. Portanto, 5 não é um divisor de zero.

Resposta

Demonstramos que na estrutura do anel , a soma de dois divisores de zero (como 2 e 3) resulta em 5, que não é um divisor de zero. Assim, provamos que a soma de dois divisores de zero pode não ser um divisor de zero.

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Quais dos seguintes conjuntos são subanéis e / ou ideais dos anéis indicados.
b)
Verifique se as funções abaixo são transformações lineares:
definida por ;
Quais dos seguintes conjuntos são subanéis e / ou ideais dos anéis indicados.
c) em .
Quais dos seguintes conjuntos são subanéis e / ou ideais dos anéis indicados.
a)