Seja
um anel comutativo com unidade. Prove que:
d) A soma de dois divisores de zero pode não ser um divisor de zero.
d) A soma de dois divisores de zero pode não ser um divisor de zero.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para provar que, em um anel comutativo com unidade, a soma de dois divisores de zero pode não ser um divisor de zero. Aqui, vamos trabalhar com conceitos de álgebra abstrata, especificamente sobre anéis e divisores de zero. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são divisores de zero e como eles se comportam dentro de diferentes anéis.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um divisor de zero. Em um anel
, um elemento
é chamado de divisor de zero se existir um elemento
, diferente de zero, tal que
. Ou seja, multiplicar
por algum elemento não nulo resulta em zero.
Passo 3
Nosso objetivo é mostrar que a soma de dois divisores de zero não necessariamente é um divisor de zero. Para isso, precisamos encontrar um exemplo específico de um anel comutativo com unidade onde temos dois divisores de zero cuja soma não é divisor de zero.
Passo 4
Vamos considerar o anel dos números inteiros módulo 6, denotado por
. Este anel é comutativo e possui unidade, já que o elemento 1 é a unidade multiplicativa.
Passo 5
Vamos identificar os divisores de zero em
. Um elemento
é divisor de zero se existir
,
, tal que
. Verificando, vemos que:
-
, então 2 e 3 são divisores de zero. -
, então 4 também é divisor de zero.
Passo 6
Agora, vamos somar dois divisores de zero em
. Vamos somar 2 e 4:
O elemento 0 também é considerado um divisor de zero, já que
Passo 7
Para que a soma de dois divisores de zero não seja um divisor de zero, precisamos de um exemplo onde a soma não é zero e não satisfaz a condição de divisor de zero. Vamos considerar os divisores de zero 2 e 3 em
:
Agora, verificamos se 5 é um divisor de zero:
-
-
-
-
-
Nenhum desses resultados é igual a 0, exceto quando multiplicamos por 0, que não conta para ser divisor de zero. Portanto, 5 não é um divisor de zero.
Resposta
Demonstramos que na estrutura do anel
, a soma de dois divisores de zero (como 2 e 3) resulta em 5, que não é um divisor de zero. Assim, provamos que a soma de dois divisores de zero pode não ser um divisor de zero.
Exercícios relacionados
Quais dos seguintes conjuntos são subanéis e / ou ideais dos anéis indicados.
b)
b)
Verifique se as funções abaixo são transformações lineares:
definida por
;
Quais dos seguintes conjuntos são subanéis e / ou ideais dos anéis indicados.
c) em
.
c)
Quais dos seguintes conjuntos são subanéis e / ou ideais dos anéis indicados.
a)
a)