Verifique se as funções abaixo são transformações lineares:
definida por
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que verificar se a função
definida por
é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais propriedades ela precisa satisfazer.
Passo 2
Primeiro, uma transformação linear deve obedecer a duas propriedades principais:
- Aditividade:
para quaisquer vetores e . - Homogeneidade:
para qualquer escalar e vetor .
Vamos verificar se essas propriedades são satisfeitas pela função
.
Passo 3
Verificando a Aditividade:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
, digamos
e
.
Então,
Por outro lado,
Comparando as duas expressões, vemos que
nem sempre é igual a
(por exemplo, se
e
tiverem sinais opostos). Logo, a aditividade não é satisfeita.
Passo 4
Verificando a Homogeneidade:
Vamos pegar um vetor
e um escalar
.
Então,
Por outro lado,
Aqui, para que a igualdade
seja verdadeira, precisamos que
. Isso só acontece se
for não negativo. Se
for negativo,
, o que quebra a homogeneidade.
Resposta
A função
não é uma transformação linear, pois não satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade necessárias.
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um anel comutativo com unidade. Prove que:
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b)
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