Verifique se as funções abaixo são transformações lineares:
T: R^3 R^2 definida por T(x, y, z)=(|x|, y+z);

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que verificar se a função definida por é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais propriedades ela precisa satisfazer.

Passo 2

Primeiro, uma transformação linear deve obedecer a duas propriedades principais:
  1. Aditividade: para quaisquer vetores e .
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar e vetor .
Vamos verificar se essas propriedades são satisfeitas pela função .

Passo 3

Verificando a Aditividade:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (|x1 + x2|, (y1 + y2) + (z1 + z2)) , digamos T(u) + T(v) = (|x1|, y1 + z1) + (|x2|, y2 + z2) = (|x1| + |x2|, (y1 + z1) + (y2 + z2)) e .
Então,
Por outro lado,
Comparando as duas expressões, vemos que nem sempre é igual a (por exemplo, se e tiverem sinais opostos). Logo, a aditividade não é satisfeita.

Passo 4

Verificando a Homogeneidade:
Vamos pegar um vetor T(cu) = T(cx, cy, cz) = (|cx|, cy + cz) = (|c||x|, c(y + z)) e um escalar cT(u) = c(|x|, y + z) = (c|x|, c(y + z)) .
Então,
Por outro lado,
Aqui, para que a igualdade seja verdadeira, precisamos que . Isso só acontece se for não negativo. Se for negativo, , o que quebra a homogeneidade.

Resposta

A função não é uma transformação linear, pois não satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade necessárias.

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