Verifique que a curva alpha(t)=(2 cos t, 2 sen t, 2 t), t in R, e a curva beta(t)=(t+raiz3 sen t, 2 cos t, raiz3 t-sen t) são congruentes. Obtenha a isometria F tal que F circ alpha=beta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são duas curvas no espaço, alpha(t) e beta(t). O exercício pede para a gente verificar se essas curvas são congruentes, ou seja, se dá pra transformar uma na outra usando uma isometria (tipo uma combinação de rotação, translação, ou reflexo sem esticar ou encurtar). Além disso, a gente precisa descobrir exatamente qual é essa isometria F que faz F circ alpha = beta. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformações espaciais e como elas afetam as coordenadas das curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada nas duas curvas:
Nada muito louco à primeira vista, mas vamos tentar achar uma relação entre elas. O que significa dizer que alpha(t) = (2 cos t, 2 sen t, 2 t)? Basicamente, aplicar a transformação beta(t) = (t + raiz3 sen t, 2 cos t, raiz3 t - sen t) nos pontos da curva F circ alpha = beta deve nos dar os pontos correspondentes da curva F.

Passo 3

Vamos pensar em F como uma combinação de rotações e translações. A ideia é encontrar uma matriz de rotação R e um vetor de translação v tal que:
beta(t) = R cdot alpha(t) + v
Isso é porque as isometrias no espaço tridimensional são compostas por rotações e translações. Então, nosso objetivo agora é descobrir qual R e v satisfazem essa equação para todos os valores de t.

Passo 4

Vamos separar as componentes de beta(t) e R cdot alpha(t) + v para facilitar:
beta1(t) = R11 cdot alpha1(t) + R12 cdot alpha2(t) + R13 cdot alpha3(t) + v1 beta2(t) = R21 cdot alpha1(t) + R22 cdot alpha2(t) + R23 cdot alpha3(t) + v2 beta3(t) = R31 cdot alpha1(t) + R32 cdot alpha2(t) + R33 cdot alpha3(t) + v3
Substituindo alpha(t) e beta(t):
Isso parece complicado, mas vamos tentar simplificar olhando para os coeficientes de t + raiz3 sen t = R11(2 cos t) + R12(2 sen t) + R13(2 t) + v1 2 cos t = R21(2 cos t) + R22(2 sen t) + R23(2 t) + v2 raiz3 t - sen t = R31(2 cos t) + R32(2 sen t) + R33(2 t) + v3 , e cos t separadamente.

Passo 5

Vamos igualar os coeficientes das funções trigonométricas e das termos em t:
Primeira Equação:
Isso nos dá:
  • Coeficiente de t + raiz3 sen t = 2 R11 cos t + 2 R12 sen t + 2 R13 t + v1 : t
  • Coeficiente de : 1 = 2 R13 Rightarrow R13 = 12
  • Coeficiente de sen t: raiz3 = 2 R12 Rightarrow R12 = raiz32
  • Termo constante: cos t
Segunda Equação:
Isso nos dá:
  • Coeficiente de 0 = 2 R11 Rightarrow R11 = 0: v1 = 0
  • Coeficiente de : 2 cos t = 2 R21 cos t + 2 R22 sen t + 2 R23 t + v2
  • Coeficiente de t: 0 = 2 R23 Rightarrow R23 = 0
  • Termo constante: sen t
Terceira Equação:
Isso nos dá:
  • Coeficiente de 0 = 2 R22 Rightarrow R22 = 0: cos t
  • Coeficiente de : 2 = 2 R21 Rightarrow R21 = 1
  • Coeficiente de v2 = 0: raiz3 t - sen t = 2 R31 cos t + 2 R32 sen t + 2 R33 t + v3
  • Termo constante: t

Passo 6

Agora que temos os valores de Rij e vi, podemos montar a matriz de rotação R e o vetor de translação v:
R = 0 & raiz32 & 12 1 & 0 & 0 0 & -12 & raiz32 , v = 0 0 0
Isso significa que a isometria F é uma rotação definida pela matriz R sem nenhuma translação.

Resposta

A isometria F que satisfaz F circ alpha = beta é a rotação representada pela matriz
F = 0 & dfracraiz32 & dfrac12 1 & 0 & 0 0 & -dfrac12 & dfracraiz32

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