Verifique que a curva , e a curva são congruentes. Obtenha a isometria tal que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são duas curvas no espaço, e . O exercício pede para a gente verificar se essas curvas são congruentes, ou seja, se dá pra transformar uma na outra usando uma isometria (tipo uma combinação de rotação, translação, ou reflexo sem esticar ou encurtar). Além disso, a gente precisa descobrir exatamente qual é essa isometria que faz . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformações espaciais e como elas afetam as coordenadas das curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada nas duas curvas:
Nada muito louco à primeira vista, mas vamos tentar achar uma relação entre elas. O que significa dizer que ? Basicamente, aplicar a transformação nos pontos da curva deve nos dar os pontos correspondentes da curva .

Passo 3

Vamos pensar em como uma combinação de rotações e translações. A ideia é encontrar uma matriz de rotação e um vetor de translação tal que:
Isso é porque as isometrias no espaço tridimensional são compostas por rotações e translações. Então, nosso objetivo agora é descobrir qual e satisfazem essa equação para todos os valores de .

Passo 4

Vamos separar as componentes de e para facilitar:
Substituindo e :
Isso parece complicado, mas vamos tentar simplificar olhando para os coeficientes de , e separadamente.

Passo 5

Vamos igualar os coeficientes das funções trigonométricas e das termos em :
Primeira Equação:
Isso nos dá:
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
  • Termo constante:
Segunda Equação:
Isso nos dá:
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
  • Termo constante:
Terceira Equação:
Isso nos dá:
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
  • Termo constante:

Passo 6

Agora que temos os valores de e , podemos montar a matriz de rotação e o vetor de translação :
Isso significa que a isometria é uma rotação definida pela matriz sem nenhuma translação.

Resposta

A isometria que satisfaz é a rotação representada pela matriz

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Quais dos seguintes conjuntos são subespaços :
do
Verificar se os conjuntos são subespaços :
do
Sejam curvas regulares, parametrizadas pelo comprimento de arco, tal que, para cada , a curvatura e a torção de e em não se anulam. Prove que, se os vetores binormais das duas curvas coincidem, isto é, , então e são congruentes.