Seja
uma aplicação diferenciável, tal que
preserva produto interno. Prove que
é uma isometria.
Passo 1
Ok, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma função
que é diferenciável. Além disso, para todo ponto
em
, a derivada de
no ponto
, denotada por
, preserva o produto interno. Nosso objetivo é provar que
é uma isometria.
Matéria envolvida: Cálculo Diferencial, especificamente aplicações diferenciáveis e isometrias.
O que vamos precisar: Entender o que significa uma aplicação ser uma isometria, o que é a derivada de uma função multivariável preservar o produto interno, e como relacionar essas informações para chegar à conclusão.
O que vamos precisar: Entender o que significa uma aplicação ser uma isometria, o que é a derivada de uma função multivariável preservar o produto interno, e como relacionar essas informações para chegar à conclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma isometria. Uma isometria é uma função que preserva as distâncias entre quaisquer dois pontos. Matematicamente, isso significa que para quaisquer pontos
,
onde
denota a norma euclidiana.
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa que a derivada
preserva o produto interno. O produto interno em
é dado por
para vetores
.
Se a derivada
preserva o produto interno, isso significa que para quaisquer vetores
no espaço tangente em
,
Isso implica que
é uma transformação linear que preserva as distâncias e ângulos, ou seja,
é uma transformação ortogonal.
Passo 4
Sabemos que se todas as derivadas de uma função
são transformações ortogonais, então
é uma aplicação isométrica localmente. Mas precisamos mostrar que essa propriedade vale globalmente, isto é, para todos os pontos de
.
Como
é um espaço convexo e simplesmente conexo, e
é diferenciável com derivadas que são transformações ortogonais em todos os pontos, podemos inferir que
é uma isometria global.
Passo 5
Além disso, por uma propriedade das isometrias em espaços euclidianos, toda isometria diferenciável com derivadas que são transformações ortogonais em todos os pontos é uma combinação de uma rotação e uma translação. Ou seja, existe uma matriz ortogonal
e um vetor
tal que
Essa forma garante que as distâncias são preservadas, o que confirma que
é uma isometria.
Resposta
Portanto, concluímos que
é uma isometria, pois preserva as distâncias entre quaisquer dois pontos em
.