Seja F: R^3 R^3 uma aplicação diferenciável, tal que forall p in R^3, d Fp preserva produto interno. Prove que F é uma isometria.

Passo 1

Ok, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma função que é diferenciável. Além disso, para todo ponto em , a derivada de no ponto , denotada por , preserva o produto interno. Nosso objetivo é provar que é uma isometria.
Matéria envolvida: Cálculo Diferencial, especificamente aplicações diferenciáveis e isometrias.
O que vamos precisar: Entender o que significa uma aplicação ser uma isometria, o que é a derivada de uma função multivariável preservar o produto interno, e como relacionar essas informações para chegar à conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma isometria. Uma isometria é uma função que preserva as distâncias entre quaisquer dois pontos. Matematicamente, isso significa que para quaisquer pontos |F(x) - F(y)| = |x - y| ,
onde denota a norma euclidiana.

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa que a derivada lang<= u, v rang<= = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 preserva o produto interno. O produto interno em lang<= dFp(u), dFp(v) rang<= = lang<= u, v rang<= é dado por
para vetores .
Se a derivada preserva o produto interno, isso significa que para quaisquer vetores no espaço tangente em ,
Isso implica que é uma transformação linear que preserva as distâncias e ângulos, ou seja, é uma transformação ortogonal.

Passo 4

Sabemos que se todas as derivadas de uma função são transformações ortogonais, então é uma aplicação isométrica localmente. Mas precisamos mostrar que essa propriedade vale globalmente, isto é, para todos os pontos de .
Como é um espaço convexo e simplesmente conexo, e é diferenciável com derivadas que são transformações ortogonais em todos os pontos, podemos inferir que é uma isometria global.

Passo 5

Além disso, por uma propriedade das isometrias em espaços euclidianos, toda isometria diferenciável com derivadas que são transformações ortogonais em todos os pontos é uma combinação de uma rotação e uma translação. Ou seja, existe uma matriz ortogonal F(x) = A x + b e um vetor tal que
Essa forma garante que as distâncias são preservadas, o que confirma que é uma isometria.

Resposta

Portanto, concluímos que é uma isometria, pois preserva as distâncias entre quaisquer dois pontos em .

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