Quais dos seguintes conjuntos de vetores são bases de R^3 ?
© (2,-3,1),(4,1,1),(0,7,-1)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Queremos saber se o conjunto de vetores (2,-3,1), (4,1,1), (0,7,-1) é uma base para o espaço R^3. Isso envolve entender conceitos de bases e espaços vetoriais na álgebra linear. Para resolver, vamos precisar verificar se esses vetores são linearmente independentes e se geram todo o espaço R^3.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que vetores sejam uma base para R^3. Uma base precisa satisfazer duas condições:
  1. Linearmente independentes: Nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros.
  2. Geram R^3: Qualquer vetor em R^3 pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base.
Se ambos os critérios forem atendidos, então o conjunto é uma base.

Passo 3

Para verificar a independência linear, podemos montar uma matriz com os vetores como colunas e calcular seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Vamos montar a matriz:
A = 2 & 4 & 0 -3 & 1 & 7 1 & 1 & -1

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante da matriz A. O determinante de uma matriz 3 times 3 é calculado da seguinte forma:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Aplicando aos nossos valores:
det(A) = 2(1 cdot (-1) - 7 cdot 1) - 4((-3) cdot (-1) - 7 cdot 1) + 0((-3) cdot 1 - 1 cdot 1)
Simplificando:
det(A) = 2(-1 - 7) - 4(3 - 7) + 0(ldots)
det(A) = 2(-8) - 4(-4) = -16 + 16 = 0

Passo 5

Encontramos que o determinante de A é 0. Isso significa que os vetores não são linearmente independentes. Portanto, eles não conseguem gerar todo o espaço R^3 de forma independente.

Resposta

O conjunto (2,-3,1), (4,1,1), (0,7,-1) não é uma base de R^3.

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