Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Queremos saber se o conjunto de vetores é uma base para o espaço . Isso envolve entender conceitos de bases e espaços vetoriais na álgebra linear. Para resolver, vamos precisar verificar se esses vetores são linearmente independentes e se geram todo o espaço .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que vetores sejam uma base para . Uma base precisa satisfazer duas condições:
Linearmente independentes: Nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Geram: Qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base.
Se ambos os critérios forem atendidos, então o conjunto é uma base.
Passo 3
Para verificar a independência linear, podemos montar uma matriz com os vetores como colunas e calcular seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Vamos montar a matriz:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante da matriz A. O determinante de uma matriz 3 times 3 é calculado da seguinte forma:
Encontramos que o determinante de A é 0. Isso significa que os vetores não são linearmente independentes. Portanto, eles não conseguem gerar todo o espaço R^3 de forma independente.
Resposta
O conjunto (2,-3,1), (4,1,1), (0,7,-1)não é uma base de R^3.