Seja T: R^3 R^3 uma aplicação linear. Determinar bases de NucT e de Im T. T(x, y, z)=(x, z, x)

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar bases para o Núcleo de ( ) e para a Imagem de ( ). Estamos trabalhando com transformações lineares em álgebra linear, especificamente uma transformação definida por . Para resolver, precisamos entender o que é o núcleo e a imagem de uma transformação linear e como encontrar suas bases.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o Núcleo de T(x, y, z) = (x, z, x) = (0, 0, 0) . O núcleo é o conjunto de todos os vetores x = 0 z = 0 x = 0 em que são mapeados para o vetor zero pela transformação . Ou seja:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 3

Resolvendo o sistema, vemos que e . O valor de não está restrito por nenhuma equação, então pode ser qualquer número real. Portanto, o núcleo de é composto por todos os vetores da forma , onde é real.

Passo 4

Agora, vamos determinar uma base para (0, y, 0) = y cdot (0, 1, 0) . Como qualquer vetor no núcleo é , (0, 1, 0) , , podemos escrever isso como:
Isso mostra que todos os vetores no núcleo são combinações lineares do vetor . Portanto, uma base para é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a Imagem de T(x, y, z) = (x, z, x) , que é o conjunto de todos os vetores que pode produzir. Aplicando a um vetor genérico , temos:
Isso significa que a imagem de consiste em todos os vetores da forma , onde e são números reais.

Passo 6

Para encontrar uma base para (x, z, x) = x cdot (1, 0, 1) + z cdot (0, 1, 0) , identificamos vetores que geram todos os possíveis vetores na imagem. Podemos decompor como:
Isso mostra que todos os vetores na imagem são combinações lineares dos vetores e . Verificamos que esses vetores são linearmente independentes.

Passo 7

Portanto, uma base para , (1, 0, 1), , (0, 1, 0) , é:

Resposta

Uma base de é e uma base de é .

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