Sejam , e vetores de .
(a) Mostre que o conjunto é uma base de .

Passo 1

Beleza, o enunciado está pedindo para a gente mostrar que o conjunto , com , e , forma uma base do espaço . Isso entra no conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente em bases e dimensão. Para provar que é uma base, a gente precisa mostrar que os vetores são linearmente independentes e que geram todo o espaço .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se a gente tem , então .

Passo 3

Vamos montar a equação com nossos vetores:
Isso dá o sistema de equações:

Passo 4

Resolvendo esse sistema passo a passo:
  1. Da primeira equação: .
  2. Substituindo na segunda equação: .
  3. Substituindo e na terceira equação: .

Passo 5

Como a única solução é , isso mostra que os vetores , e são linearmente independentes.

Passo 6

Agora, precisamos verificar se esses vetores geram . Como temos três vetores em um espaço tridimensional e eles são linearmente independentes, automaticamente eles geram todo o espaço .

Resposta

Portanto, o conjunto é uma base de .

Exercícios relacionados

Sejam e vetores de . Determine os valores de para os quais pode ser escrito como combinação linear de e .
Quais dos seguintes conjuntos abaixo são subespaço de ? Justifique.
(g)
Verificar quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais do :
;
Dadas as matrizes e , determine, se possível: