Sejam v1=(1,2,3), v2=(0,1,2) e v3=(0,0,1) vetores de R^3.
(a) Mostre que o conjunto beta=v1, v2, v3 é uma base de R^3.

Passo 1

Beleza, o enunciado está pedindo para a gente mostrar que o conjunto , com , e , forma uma base do espaço . Isso entra no conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente em bases e dimensão. Para provar que é uma base, a gente precisa mostrar que os vetores são linearmente independentes e que geram todo o espaço .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se a gente tem , então .

Passo 3

Vamos montar a equação a1(1,2,3) + a2(0,1,2) + a3(0,0,1) = (0,0,0) com nossos vetores:
a1 cdot 1 + a2 cdot 0 + a3 cdot 0 = 0 a1 cdot 2 + a2 cdot 1 + a3 cdot 0 = 0 a1 cdot 3 + a2 cdot 2 + a3 cdot 1 = 0
Isso dá o sistema de equações:

Passo 4

Resolvendo esse sistema passo a passo:
  1. Da primeira equação: .
  2. Substituindo na segunda equação: .
  3. Substituindo e na terceira equação: .

Passo 5

Como a única solução é , isso mostra que os vetores , e são linearmente independentes.

Passo 6

Agora, precisamos verificar se esses vetores geram . Como temos três vetores em um espaço tridimensional e eles são linearmente independentes, automaticamente eles geram todo o espaço .

Resposta

Portanto, o conjunto é uma base de .

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