Sejam , e vetores de .
(a) Mostre que o conjunto é uma base de .
Passo 1
Beleza, o enunciado está pedindo para a gente mostrar que o conjunto , com , e , forma uma base do espaço . Isso entra no conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente em bases e dimensão. Para provar que é uma base, a gente precisa mostrar que os vetores são linearmente independentes e que geram todo o espaço .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se a gente tem , então .
Passo 3
Vamos montar a equação com nossos vetores:
Isso dá o sistema de equações:
Passo 4
Resolvendo esse sistema passo a passo:
Da primeira equação: .
Substituindo na segunda equação: .
Substituindo e na terceira equação: .
Passo 5
Como a única solução é , isso mostra que os vetores , e são linearmente independentes.
Passo 6
Agora, precisamos verificar se esses vetores geram. Como temos três vetores em um espaço tridimensional e eles são linearmente independentes, automaticamente eles geram todo o espaço .