Sendo uma matriz quadrada de ordem , diz-se que é antissimétrica se . Verifique que a matriz dada a seguir é antissimétrica. Posteriormente, a partir desta verificação, indique quais as características que uma matriz deve ter para ser antissimétrica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz quadrada de ordem 3 e precisa verificar se ela é antissimétrica. Matéria envolvida aqui é álgebra linear, especificamente sobre propriedades das matrizes. Para isso, vamos precisar entender o que é matriz antissimétrica e como calcular a transposta de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma matriz ser antissimétrica. Uma matriz é antissimétrica se ela é igual ao negativo da sua transposta, ou seja, . A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas.
Passo 3
Vamos calcular a transposta da matriz :
A transposta fica:
Passo 4
Agora, vamos verificar se . Calculando :
Comparando e , vemos que são exatamente iguais:
Portanto, a matriz é antissimétrica.
Passo 5
Além de verificar isso, vamos entender quais são as características que uma matriz precisa ter para ser antissimétrica:
Elementos da diagonal principal são zero: Isso porque só é possível se .
Elementos fora da diagonal são negativos um do outro: Ou seja, para todo .
Resposta
A matriz é antissimétrica porque e, para ser antissimétrica, uma matriz deve ter zeros na diagonal principal e os elementos fora da diagonal devem ser negativos entre si.