Sendo uma matriz quadrada de ordem , diz-se que é antissimétrica se . Verifique que a matriz dada a seguir é antissimétrica. Posteriormente, a partir desta verificação, indique quais as características que uma matriz deve ter para ser antissimétrica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz quadrada de ordem 3 e precisa verificar se ela é antissimétrica. Matéria envolvida aqui é álgebra linear, especificamente sobre propriedades das matrizes. Para isso, vamos precisar entender o que é matriz antissimétrica e como calcular a transposta de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma matriz ser antissimétrica. Uma matriz é antissimétrica se ela é igual ao negativo da sua transposta, ou seja, . A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas.

Passo 3

Vamos calcular a transposta da matriz :
A transposta fica:

Passo 4

Agora, vamos verificar se . Calculando :
Comparando e , vemos que são exatamente iguais:
Portanto, a matriz é antissimétrica.

Passo 5

Além de verificar isso, vamos entender quais são as características que uma matriz precisa ter para ser antissimétrica:
  1. Elementos da diagonal principal são zero: Isso porque só é possível se .
  2. Elementos fora da diagonal são negativos um do outro: Ou seja, para todo .

Resposta

A matriz é antissimétrica porque e, para ser antissimétrica, uma matriz deve ter zeros na diagonal principal e os elementos fora da diagonal devem ser negativos entre si.

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(a) Seja tal que . Determine .
(b) Seja tal que . Determine .
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e
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Quais dos seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de ? Justifique sua resposta.
(a) .