Seja o espaço vetorial de todas as matrizes quadradas de ordem . Qual dos seguintes conjuntos de matrizes em são subespaços vetoriais de ? Justifique sua resposta.
(d) Todas as matrizes de tais que .

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos o espaço vetorial formado por todas as matrizes quadradas de ordem . Queremos saber se o conjunto das matrizes em que satisfazem é um subespaço vetorial de .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço se ele satisfaz três propriedades principais:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição (somando dois elementos do conjunto, o resultado também está no conjunto).
  3. É fechado sob multiplicação por escalar (multiplicando um elemento do conjunto por um número, o resultado também está no conjunto).

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está no conjunto. A matriz zero satisfaz , então ela pertence ao conjunto das matrizes que satisfazem .

Passo 3

Agora, vamos ver se o conjunto é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos duas matrizes e que satisfazem e , a matriz também deve satisfazer .
Vamos calcular :
Para que , precisa-se que . No entanto, isso nem sempre é verdade para matrizes quaisquer e . Portanto, o conjunto não é fechado sob adição.

Passo 4

Como o conjunto não é fechado sob adição, já podemos concluir que ele não é um subespaço vetorial de . Não precisamos verificar a propriedade de multiplicação por escalar, pois já faltou cumprir uma das condições necessárias.

Resposta

O conjunto das matrizes em que satisfazem não é um subespaço vetorial de .

Exercícios relacionados

Quais dos seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de ? Justifique sua resposta.
© é racional .