Seja V o espaço vetorial de todas as matrizes quadradas de ordem n. Qual dos seguintes conjuntos de matrizes em V são subespaços vetoriais de V ? Justifique sua resposta.
(d) * Todas as matrizes A de V tais que A^2=A.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos o espaço vetorial formado por todas as matrizes quadradas de ordem . Queremos saber se o conjunto das matrizes em que satisfazem é um subespaço vetorial de .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço se ele satisfaz três propriedades principais:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição (somando dois elementos do conjunto, o resultado também está no conjunto).
  3. É fechado sob multiplicação por escalar (multiplicando um elemento do conjunto por um número, o resultado também está no conjunto).

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está no conjunto. A matriz zero satisfaz , então ela pertence ao conjunto das matrizes que satisfazem .

Passo 3

Agora, vamos ver se o conjunto é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos duas matrizes (A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2 = A + AB + BA + B e que satisfazem e , a matriz também deve satisfazer .
Vamos calcular :
Para que , precisa-se que . No entanto, isso nem sempre é verdade para matrizes quaisquer e . Portanto, o conjunto não é fechado sob adição.

Passo 4

Como o conjunto não é fechado sob adição, já podemos concluir que ele não é um subespaço vetorial de . Não precisamos verificar a propriedade de multiplicação por escalar, pois já faltou cumprir uma das condições necessárias.

Resposta

O conjunto das matrizes em que satisfazem não é um subespaço vetorial de .

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