Seja
o espaço vetorial de todas as matrizes quadradas de ordem
. Qual dos seguintes conjuntos de matrizes em
são subespaços vetoriais de
? Justifique sua resposta.
(d)
Todas as matrizes
de
tais que
.
(d)
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos o espaço vetorial
formado por todas as matrizes quadradas de ordem
. Queremos saber se o conjunto das matrizes
em
que satisfazem
é um subespaço vetorial de
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço se ele satisfaz três propriedades principais:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob adição (somando dois elementos do conjunto, o resultado também está no conjunto).
- É fechado sob multiplicação por escalar (multiplicando um elemento do conjunto por um número, o resultado também está no conjunto).
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está no conjunto. A matriz zero
satisfaz
, então ela pertence ao conjunto das matrizes que satisfazem
.
Passo 3
Agora, vamos ver se o conjunto é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos duas matrizes
e
que satisfazem
e
, a matriz
também deve satisfazer
.
Vamos calcular
:
Para que
, precisa-se que
. No entanto, isso nem sempre é verdade para matrizes quaisquer
e
. Portanto, o conjunto não é fechado sob adição.
Passo 4
Como o conjunto não é fechado sob adição, já podemos concluir que ele não é um subespaço vetorial de
. Não precisamos verificar a propriedade de multiplicação por escalar, pois já faltou cumprir uma das condições necessárias.
Resposta
O conjunto das matrizes
em
que satisfazem
não é um subespaço vetorial de
.