Para quais das seguintes definiçōes pode-se afirmar que é um espaço vetorial? Justifique sua resposta. e

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar para quais das definições dadas o conjunto é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é uma estrutura que segue certas regras quando a gente define como soma de vetores e multiplicação por escalar. Aqui, temos duas definições:
  • Soma de vetores:
  • Multiplicação por escalar:
Vamos precisar entender as propriedades que um espaço vetorial deve ter e ver se essas definições cumprem essas regras.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as propriedades que definem um espaço vetorial. Existem várias, mas vamos focar nas principais:
  1. Fechamento da soma: A soma de dois vetores no conjunto deve estar dentro do conjunto.
  2. Comutatividade da soma:
  3. Associatividade da soma:
  4. Elemento neutro da soma: Existe um vetor zero tal que
  5. Elemento inverso: Para todo vetor , existe um vetor tal que
  6. Fechamento da multiplicação por escalar: A multiplicação de um vetor por um escalar deve estar dentro do conjunto
  7. Distributividade da multiplicação por escalares sobre a soma de vetores:
  8. Distributividade da multiplicação por escalares sobre a soma de escalares:
  9. Compatibilidade da multiplicação por escalares:
  10. Identidade da multiplicação por escalar:
Vamos verificar se essas propriedades são satisfeitas com as definições dadas.

Passo 3

Vamos começar pela fechamento da soma. A definição de soma está boa porque a soma de dois vetores e resulta em , que pertence a .
Agora, a comutatividade da soma também é satisfeita, já que .
A associatividade da soma também funciona, pois a ordem em que somamos os vetores não altera o resultado final.
O elemento neutro da soma seria o vetor , já que . Isso está ok.
O elemento inverso é , que também está dentro de .
Até aqui, tudo certo com a soma.

Passo 4

Agora, vamos para a multiplicação por escalar. A definição dada é .
Vamos verificar o fechamento da multiplicação por escalar. Se multiplicarmos qualquer vetor por um escalar, o primeiro componente é escalado, mas o segundo sempre fica zero. Isso pode causar problemas. Por exemplo, se tivermos e , então , que ainda está em se assumirmos que é o conjunto de todos os vetores do tipo . Mas a multiplicação está modificando o segundo componente de forma fixa, o que pode não respeitar outras propriedades.
Vamos verificar outra propriedade: a distributividade da multiplicação por escalares sobre a soma de vetores.
Calculando :
Agora, calculando :
Parece que essa propriedade é satisfeita.

Passo 5

Vamos agora verificar a distributividade da multiplica�o por escalares sobre a soma de escalares:
E
Também está funcionando.
Agora, a compatibilidade da multiplicação por escalares:
E
Bom, essa propriedade também se mantém.
Por último, a identidade da multiplicação por escalar:
Mas o vetor original é , e agora está . Isso só é igual ao vetor original se , ou seja, somente para vetores da forma .

Passo 6

Aqui percebemos um problema. A identidade da multiplicação por escalar não é satisfeita para todos os vetores de , a menos que . Isso significa que a multiplicação por escalar definida não mantém o segundo componente do vetor, o que viola uma das propriedades necessárias para um espaço vetorial.

Resposta

Portanto, não é um espaço vetorial sob as definições dadas de soma e multiplicação por escalar.

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