Para quais das seguintes definiçōes pode-se afirmar que
é um espaço vetorial? Justifique sua resposta.
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar para quais das definições dadas o conjunto
é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é uma estrutura que segue certas regras quando a gente define como soma de vetores e multiplicação por escalar. Aqui, temos duas definições:
- Soma de vetores:
- Multiplicação por escalar:
Vamos precisar entender as propriedades que um espaço vetorial deve ter e ver se essas definições cumprem essas regras.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as propriedades que definem um espaço vetorial. Existem várias, mas vamos focar nas principais:
- Fechamento da soma: A soma de dois vetores no conjunto deve estar dentro do conjunto.
- Comutatividade da soma:
- Associatividade da soma:
- Elemento neutro da soma: Existe um vetor zero tal que
- Elemento inverso: Para todo vetor
, existe um vetor tal que - Fechamento da multiplicação por escalar: A multiplicação de um vetor por um escalar deve estar dentro do conjunto
- Distributividade da multiplicação por escalares sobre a soma de vetores:
- Distributividade da multiplicação por escalares sobre a soma de escalares:
- Compatibilidade da multiplicação por escalares:
- Identidade da multiplicação por escalar:
Vamos verificar se essas propriedades são satisfeitas com as definições dadas.
Passo 3
Vamos começar pela fechamento da soma. A definição de soma está boa porque a soma de dois vetores
e
resulta em
, que pertence a
.
Agora, a comutatividade da soma também é satisfeita, já que
.
A associatividade da soma também funciona, pois a ordem em que somamos os vetores não altera o resultado final.
O elemento neutro da soma seria o vetor
, já que
. Isso está ok.
O elemento inverso é
, que também está dentro de
.
Até aqui, tudo certo com a soma.
Passo 4
Agora, vamos para a multiplicação por escalar. A definição dada é
.
Vamos verificar o fechamento da multiplicação por escalar. Se multiplicarmos qualquer vetor por um escalar, o primeiro componente é escalado, mas o segundo sempre fica zero. Isso pode causar problemas. Por exemplo, se tivermos
e
, então
, que ainda está em
se assumirmos que
é o conjunto de todos os vetores do tipo
. Mas a multiplicação está modificando o segundo componente de forma fixa, o que pode não respeitar outras propriedades.
Vamos verificar outra propriedade: a distributividade da multiplicação por escalares sobre a soma de vetores.
Calculando
:
Agora, calculando
:
Parece que essa propriedade é satisfeita.
Passo 5
Vamos agora verificar a distributividade da multiplica�o por escalares sobre a soma de escalares:
E
Também está funcionando.
Agora, a compatibilidade da multiplicação por escalares:
E
Bom, essa propriedade também se mantém.
Por último, a identidade da multiplicação por escalar:
Mas o vetor original é
, e agora está
. Isso só é igual ao vetor original se
, ou seja, somente para vetores da forma
.
Passo 6
Aqui percebemos um problema. A identidade da multiplicação por escalar não é satisfeita para todos os vetores de
, a menos que
. Isso significa que a multiplicação por escalar definida não mantém o segundo componente do vetor, o que viola uma das propriedades necessárias para um espaço vetorial.
Resposta
Portanto,
não é um espaço vetorial sob as definições dadas de soma e multiplicação por escalar.