Para as seguintes EDO
(a)
(a)
Passo 1
Beleza! Vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada:
Esse problema está dentro do estudo de equações diferenciais, mais especificamente das equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis. Para resolver, vamos precisar identificar o tipo da equação e aplicar métodos apropriados, como a busca por soluções da forma
, que é comum em equações do tipo Cauchy-Euler.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é uma equação de Cauchy-Euler. Uma equação de Cauchy-Euler de segunda ordem tem a forma:
Comparando com a nossa EDO:
Podemos reescrever o termo
como
. Assim, a equação fica:
Apesar de não ser exatamente no formato padrão de Cauchy-Euler, podemos tentar uma mudança de variável para simplificar.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para deixar a equação em uma forma mais manejável. Seja
. Então,
e
, já que
.
Agora, substituindo
na equação original:
Isso simplifica a equação, mas ainda não está fácil de resolver diretamente. Vamos tentar uma outra abordagem.
Passo 4
Vamos tentar uma solução na forma
. Essa é uma técnica comum para equações de Cauchy-Euler. Assumindo
, temos:
Substituindo na equação original:
Simplificando cada termo:
Passo 5
Agora, fatorando
:
Para que essa igualdade seja válida para
, o termo entre colchetes deve ser zero:
Perceba que isso depende de
, o que indica que nossa suposição inicial de
pode não ser a mais adequada para essa equação. Portanto, precisamos tentar outro método.
Passo 6
Como a tentativa anterior não funcionou, vamos buscar uma solução por meio de uma série de potências ou tentar reduções de ordem. No entanto, devido à complexidade da equação, uma abordagem prática é utilizar um fator integrante ou transformar a equação em uma forma de equação diferencial linear de primeira ordem.
Vamos reescrever a equação original:
Dividindo toda a equação por
para simplificar:
Passo 7
Agora, temos uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes que dependem de
. Para resolver, podemos usar o método de coeficientes indeterminados ou a variação de parâmetros. Contudo, devido à forma da equação, é mais viável buscar uma solução particular usando uma substituição adequada.
Vamos tentar uma solução da forma
, onde
é uma função de
. Calculando as derivadas:
Passo 8
Substituindo
,
e
na equação simplificada:
Simplificando cada termo:
Agrupando termos semelhantes:
Multiplicando toda a equação por
para eliminar denominadores:
Passo 9
Agora, temos uma equação diferencial linear de segunda ordem para
:
Essa equação ainda é complexa, mas podemos procurar uma solução na forma de uma potência, ou tentar uma equação de Cauchy-Euler novamente. Assumindo
, temos:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Fatorando
:
Portanto:
Passo 10
Resolvendo a equação quadrática:
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é zero, temos uma raiz real dupla:
Portanto, a solução geral para
é:
Resposta
A solu��ão geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes de integração.
Exercícios relacionados
Para os seguintes pares de funções determine se elas são LI
(b) e
(b)
Usando a forma polar dos números complexo correspondente, ache:
ii)
ii)
Sejam
e
soluções da EDO
onde
. Prove que
(b) Se e
atingem máximo ou mínimo em um mesmo ponto
, então elas não podem formar um conjunto fundamental de soluções nesse intervalo.
(b) Se
Para os seguintes pares de funções determine se elas são LI
(d) e
(d)