Para as seguintes EDO
(a)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada:
Esse problema está dentro do estudo de equações diferenciais, mais especificamente das equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis. Para resolver, vamos precisar identificar o tipo da equação e aplicar métodos apropriados, como a busca por soluções da forma , que é comum em equações do tipo Cauchy-Euler.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é uma equação de Cauchy-Euler. Uma equação de Cauchy-Euler de segunda ordem tem a forma:
Comparando com a nossa EDO:
Podemos reescrever o termo como . Assim, a equação fica:
Apesar de não ser exatamente no formato padrão de Cauchy-Euler, podemos tentar uma mudança de variável para simplificar.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para deixar a equação em uma forma mais manejável. Seja . Então, e , já que .
Agora, substituindo na equação original:
Isso simplifica a equação, mas ainda não está fácil de resolver diretamente. Vamos tentar uma outra abordagem.

Passo 4

Vamos tentar uma solução na forma . Essa é uma técnica comum para equações de Cauchy-Euler. Assumindo , temos:
Substituindo na equação original:
Simplificando cada termo:

Passo 5

Agora, fatorando :
Para que essa igualdade seja válida para , o termo entre colchetes deve ser zero:
Perceba que isso depende de , o que indica que nossa suposição inicial de pode não ser a mais adequada para essa equação. Portanto, precisamos tentar outro método.

Passo 6

Como a tentativa anterior não funcionou, vamos buscar uma solução por meio de uma série de potências ou tentar reduções de ordem. No entanto, devido à complexidade da equação, uma abordagem prática é utilizar um fator integrante ou transformar a equação em uma forma de equação diferencial linear de primeira ordem.
Vamos reescrever a equação original:
Dividindo toda a equação por para simplificar:

Passo 7

Agora, temos uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes que dependem de . Para resolver, podemos usar o método de coeficientes indeterminados ou a variação de parâmetros. Contudo, devido à forma da equação, é mais viável buscar uma solução particular usando uma substituição adequada.
Vamos tentar uma solução da forma , onde é uma função de . Calculando as derivadas:

Passo 8

Substituindo , e na equação simplificada:
Simplificando cada termo:
Agrupando termos semelhantes:
Multiplicando toda a equação por para eliminar denominadores:

Passo 9

Agora, temos uma equação diferencial linear de segunda ordem para :
Essa equação ainda é complexa, mas podemos procurar uma solução na forma de uma potência, ou tentar uma equação de Cauchy-Euler novamente. Assumindo , temos:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Fatorando :
Portanto:

Passo 10

Resolvendo a equação quadrática:
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é zero, temos uma raiz real dupla:
Portanto, a solução geral para é:

Resposta

A solu��ão geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes de integração.

Exercícios relacionados

Para os seguintes pares de funções determine se elas são LI
(b) e
Usando a forma polar dos números complexo correspondente, ache:
ii)
Sejam e soluções da EDO
onde . Prove que
(b) Se e atingem máximo ou mínimo em um mesmo ponto , então elas não podem formar um conjunto fundamental de soluções nesse intervalo.
Para os seguintes pares de funções determine se elas são LI
(d) e