Para os seguintes pares de funções determine se elas são LI
(b) f(theta) = cos(2 theta) - 2 cos^2(theta) e g(θ) = cos(2θ) + 2 * sen²(θ)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas funções trigonométricas: e . O objetivo aqui é descobrir se essas duas funções são linearmente independentes (LI). Para isso, vamos precisar entender o que significa funções serem LI e usar um pouco de álgebra trigonométrica para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa duas funções serem linearmente independentes. Duas funções e são LI se a única solução para a equação for . Isso quer dizer que nenhuma das funções pode ser escrita como um múltiplo da outra.

Passo 3

Vamos montar a equação . Nosso objetivo é ver se a única solução é . Para isso, simplificamos a expressão:

Passo 4

Vamos agrupar os termos semelhantes:
Sabemos que e . Vamos substituir essas identidades trigonométricas:

Passo 5

Simplificando os termos:
Distribuindo e :

Passo 6

Agora, observamos que os termos e se anulam, assim como e . Restam:

Passo 7

A única equação que sobra é , o que implica que . Isso significa que existe uma combinação não trivial das funções que resulta em zero, ou seja, podemos escolher e , e a equação será satisfeita sem que ambos sejam zero.

Resposta

As funções e não são linearmente independentes.

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