Para os seguintes pares de funções determine se elas são LI
(b)
e
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas funções trigonométricas:
e . O objetivo aqui é descobrir se essas duas funções são linearmente independentes (LI). Para isso, vamos precisar entender o que significa funções serem LI e usar um pouco de álgebra trigonométrica para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa duas funções serem linearmente independentes. Duas funções
e
são LI se a única solução para a equação
for
. Isso quer dizer que nenhuma das funções pode ser escrita como um múltiplo da outra.
Passo 3
Vamos montar a equação . Nosso objetivo é ver se a única solução é
. Para isso, simplificamos a expressão:
Passo 4
Vamos agrupar os termos semelhantes:
Sabemos que
e . Vamos substituir essas identidades trigonométricas:
Passo 5
Simplificando os termos:
Distribuindo
e
:
Passo 6
Agora, observamos que os termos
e
se anulam, assim como
e
. Restam:
Passo 7
A única equação que sobra é
, o que implica que
. Isso significa que existe uma combinação não trivial das funções que resulta em zero, ou seja, podemos escolher
e
, e a equação será satisfeita sem que ambos sejam zero.
Resposta
As funções
e
não são linearmente independentes.
Exercícios relacionados
Usando a forma polar dos números complexo correspondente, ache:
ii)
ii)
Seja
um número complexo dado. Use a) para provar que as
raízes complexas da equação:
vem dadas por:
Para as seguintes EDO
(a)
(a)
Sejam
e
soluções da EDO
onde
. Prove que
(b) Se e
atingem máximo ou mínimo em um mesmo ponto
, então elas não podem formar um conjunto fundamental de soluções nesse intervalo.
(b) Se