Usando a forma polar dos números complexo correspondente, ache:
ii)
ii)
Passo 1
Beleza, galera! A gente tem que resolver
usando a forma polar dos números complexos. Isso significa que vamos transformar o número
da forma retangular (a + bi) para a forma polar (r e^{iθ}), e depois aplicar uma regra que facilita muito quando estamos elevando números complexos a potências altas.
Passo 2
Primeiro, vamos converter
para sua forma polar. Para isso, precisamos calcular o módulo
e o argumento
.
O módulo
é dado por:
onde
e
. Então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o argumento
. Ele é calculado usando a tangente:
Substituindo
e
:
Mas como estamos no quarto quadrante, podemos também escrever
.
Passo 4
Com o módulo e o argumento, a forma polar de
é:
ou
Passo 5
Agora, vamos elevar
à potência 23 usando a Fórmula de De Moivre, que diz que:
Aplicando isso:
Passo 6
Vamos simplificar o módulo:
Passo 7
E o argumento:
Como os ângulos se repetem a cada
, podemos simplificar:
Então:
Passo 8
Agora, juntando tudo:
Resposta
Exercícios relacionados
Seja
um número complexo dado. Use a) para provar que as
raízes complexas da equação:
vem dadas por:
Para os seguintes pares de funções determine se elas são LI
(a) e
(a)
Para os seguintes pares de funções determine se elas são LI
(b) e
(b)
Para as seguintes EDO
(a)
(a)