Para as seguintes escolhas da matriz
, encontre a solução geral das equações
, classifique o equilíbrio na origem, e esboce o retrato de fase:
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. Temos um sistema de equações diferenciais lineares representado por
, onde a matriz
é:
O que a gente precisa fazer é encontrar a solução geral desse sistema, classificar o ponto de equilíbrio na origem e desenhar o retrato de fase. Para isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores, que são fundamentais para resolver sistemas lineares como esse.
Passo 2
Primeiro passo é achar os autovalores da matriz
. Isso significa encontrar valores de
que satisfazem a equação característica:
Onde
é a matriz identidade. Vamos calcular isso:
Calculando o determinante:
Então:
Portanto, os autovalores são:
Passo 3
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada
.
Para
:
Da primeira equação:
Então, um autovetor associado a
é:
Para
:
Da primeira equação:
Então, um autovetor associado a
é:
Passo 4
Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos montar a solução geral do sistema. Para sistemas com autovalores reais e distintos, a solução geral é uma combinação linear dos autovetores multiplicados pelas exponenciais dos autovalores.
Então, a solução geral fica:
Onde
e
são constantes que determinam as condições iniciais do sistema.
Passo 5
Agora, vamos classificar o ponto de equilíbrio na origem. Observamos que ambos os autovalores são reais e negativos (
e
). Isso indica que a origem é um nó estável. Ou seja, todas as soluções tendem para a origem conforme o tempo
avança, e as trajetórias no retrato de fase vão convergir para esse ponto de equilíbrio.
Passo 6
Por fim, vamos esboçar o retrato de fase. Como temos um nó estável, todas as trajetórias vão se aproximar da origem. As direções principais são dadas pelos autovetores:
- Ao longo de
, as soluções decaem mais lentamente, já que o autovalor associado é . - Ao longo de
, as soluções decaem mais rapidamente, pois o autovalor associado é .
As curvas entre essas direções serão hipérboles que se fecham na origem, refletindo a estabilidade do nó.
Resposta
A solução geral do sistema é:
O ponto de equilíbrio na origem é um nó estável.