Para as seguintes escolhas da matriz A, encontre a solução geral das equações d/dt x = A x, classifique o equilíbrio na origem, e esboce o retrato de fase:
(f) (-10 1; 1 -10)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. Temos um sistema de equações diferenciais lineares representado por , onde a matriz é:
O que a gente precisa fazer é encontrar a solução geral desse sistema, classificar o ponto de equilíbrio na origem e desenhar o retrato de fase. Para isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores, que são fundamentais para resolver sistemas lineares como esse.

Passo 2

Primeiro passo é achar os autovalores da matriz . Isso significa encontrar valores de que satisfazem a equação característica:
Onde é a matriz identidade. Vamos calcular isso:
Calculando o determinante:
Então:
Portanto, os autovalores são:

Passo 3

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada .
Para :
Da primeira equação:
Então, um autovetor associado a é:
Para :
Da primeira equação:
Então, um autovetor associado a é:

Passo 4

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos montar a solução geral do sistema. Para sistemas com autovalores reais e distintos, a solução geral é uma combinação linear dos autovetores multiplicados pelas exponenciais dos autovalores.
Então, a solução geral fica:
Onde e são constantes que determinam as condições iniciais do sistema.

Passo 5

Agora, vamos classificar o ponto de equilíbrio na origem. Observamos que ambos os autovalores são reais e negativos ( e ). Isso indica que a origem é um nó estável. Ou seja, todas as soluções tendem para a origem conforme o tempo avança, e as trajetórias no retrato de fase vão convergir para esse ponto de equilíbrio.

Passo 6

Por fim, vamos esboçar o retrato de fase. Como temos um nó estável, todas as trajetórias vão se aproximar da origem. As direções principais são dadas pelos autovetores:
  • Ao longo de , as soluções decaem mais lentamente, já que o autovalor associado é .
  • Ao longo de , as soluções decaem mais rapidamente, pois o autovalor associado é .
As curvas entre essas direções serão hipérboles que se fecham na origem, refletindo a estabilidade do nó.

Resposta

A solução geral do sistema é:
O ponto de equilíbrio na origem é um nó estável.

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