Para as seguintes escolhas da matriz
, encontre a solução geral das equações
, classifique o equilíbrio na origem, e esboce o retrato de fase:
(g)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente trabalhar com a matriz
e resolver o sistema de equações diferenciais
. A gente vai precisar entender um pouco de sistemas lineares, soluções gerais de equações diferenciais e como classificar o equilíbrio na origem. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução geral do sistema
. Como a matriz
é diagonal, isso facilita bastante. Em sistemas lineares, as soluções podem ser encontradas usando os autovalores e autovetores da matriz.
Aqui, os autovalores de
são os números na diagonal, ou seja,
e
. Isso significa que as soluções vão ter termos como
.
Então, a solução geral será:
onde
e
são constantes que dependem das condições iniciais.
Passo 3
Agora, vamos classificar o equilíbrio na origem. O ponto de equilíbrio é onde
.
Para isso, analisamos os autovalores:
- Como ambos os autovalores
e são positivos, isso indica que todas as soluções vão crescer exponencialmente à medida que aumenta.
Então, o equilíbrio na origem é um nó instável. Isso significa que qualquer pequeno afastamento da origem fará com que a solução se afaste ainda mais com o tempo.
Passo 4
Por último, vamos esboçar o retrato de fase. Um retrato de fase mostra como as soluções do sistema se comportam no espaço de estados.
Como ambos os autovalores são positivos e iguais, as linhas de fluxo vão se afastar da origem ao longo das direções dos autovetores. No nosso caso, os autovetores são alinhados com os eixos
e
.
Então, no retrato de fase:
- As trajetórias se movem para fora da origem ao longo dos eixos
e . - As linhas de fluxo serão curvas que se afastam da origem em todas as direções, formando um padrão de nó.
Resposta
A solução geral do sistema é:
O equilíbrio na origem é classificado como um nó instável, e o retrato de fase mostra trajetórias que se afastam da origem ao longo dos eixos
e
.