Para as seguintes escolhas da matriz A, encontre a solução geral das equações d/dt x = A x, classifique o equilíbrio na origem, e esboce o retrato de fase:
(g) [[3, 0], [0, 3]]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente trabalhar com a matriz e resolver o sistema de equações diferenciais . A gente vai precisar entender um pouco de sistemas lineares, soluções gerais de equações diferenciais e como classificar o equilíbrio na origem. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução geral do sistema . Como a matriz é diagonal, isso facilita bastante. Em sistemas lineares, as soluções podem ser encontradas usando os autovalores e autovetores da matriz.
Aqui, os autovalores de são os números na diagonal, ou seja, e . Isso significa que as soluções vão ter termos como .
Então, a solução geral será:
onde e são constantes que dependem das condições iniciais.

Passo 3

Agora, vamos classificar o equilíbrio na origem. O ponto de equilíbrio é onde .
Para isso, analisamos os autovalores:
  • Como ambos os autovalores e são positivos, isso indica que todas as soluções vão crescer exponencialmente à medida que aumenta.
Então, o equilíbrio na origem é um nó instável. Isso significa que qualquer pequeno afastamento da origem fará com que a solução se afaste ainda mais com o tempo.

Passo 4

Por último, vamos esboçar o retrato de fase. Um retrato de fase mostra como as soluções do sistema se comportam no espaço de estados.
Como ambos os autovalores são positivos e iguais, as linhas de fluxo vão se afastar da origem ao longo das direções dos autovetores. No nosso caso, os autovetores são alinhados com os eixos e .
Então, no retrato de fase:
  • As trajetórias se movem para fora da origem ao longo dos eixos e .
  • As linhas de fluxo serão curvas que se afastam da origem em todas as direções, formando um padrão de nó.

Resposta

A solução geral do sistema é:
O equilíbrio na origem é classificado como um nó instável, e o retrato de fase mostra trajetórias que se afastam da origem ao longo dos eixos e .

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