Para as seguintes escolhas da matriz
, encontre a solução geral das equações
, classifique o equilíbrio na origem, e esboce o retrato de fase:
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial do tipo
, onde a matriz
é:
Precisamos encontrar a solução geral dessa equação, classificar o equilíbrio na origem e fazer um esboço do retrato de fase. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares e análise de estabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial
. Como a matriz
é uma matriz diagonal, as equações para
e
são independentes. Vamos reescrever o sistema:
Passo 3
Agora, vamos resolver cada uma dessas equações diferenciais. A solução geral de uma equação diferencial da forma
é:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Aplicando isso às nossas equações:
Para
:
Para
:
Aqui,
e
são as condições iniciais para
e
, respectivamente.
Passo 5
Assim, a solução geral do sistema é:
Isso significa que ambas as componentes da solução decaem exponencialmente ao longo do tempo.
Passo 6
Para classificar o ponto de equilíbrio na origem, olhamos os autovalores da matriz
. No nosso caso, os autovalores são
e
.
Como ambos os autovalores são reais e negativos, isso indica que a origem é um nó estável. Isso significa que todas as soluções convergem para a origem conforme
aumenta.
Passo 7
Por fim, vamos esboçar o retrato de fase. Como ambos os autovalores são negativos e iguais, todas as trajetórias no plano tendem para a origem de forma direta e simétrica. O retrato de fase será composto por linhas que apontam para a origem, indicando a estabilidade do ponto de equilíbrio.
Resposta
A solução geral é
. O ponto de equilíbrio na origem é um nó estável e o retrato de fase mostra todas as trajetórias convergindo diretamente para a origem.