Para as seguintes escolhas da matriz A, encontre a solução geral das equações d/dt x = A x, classifique o equilíbrio na origem, e esboce o retrato de fase:
(d) (-2 0; 0 -2)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial do tipo , onde a matriz é:
Precisamos encontrar a solução geral dessa equação, classificar o equilíbrio na origem e fazer um esboço do retrato de fase. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares e análise de estabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial . Como a matriz é uma matriz diagonal, as equações para e são independentes. Vamos reescrever o sistema:

Passo 3

Agora, vamos resolver cada uma dessas equações diferenciais. A solução geral de uma equação diferencial da forma é:
onde é a constante de integração.

Passo 4

Aplicando isso às nossas equações:
Para :
Para :
Aqui, e são as condições iniciais para e , respectivamente.

Passo 5

Assim, a solução geral do sistema é:
Isso significa que ambas as componentes da solução decaem exponencialmente ao longo do tempo.

Passo 6

Para classificar o ponto de equilíbrio na origem, olhamos os autovalores da matriz . No nosso caso, os autovalores são e .
Como ambos os autovalores são reais e negativos, isso indica que a origem é um nó estável. Isso significa que todas as soluções convergem para a origem conforme aumenta.

Passo 7

Por fim, vamos esboçar o retrato de fase. Como ambos os autovalores são negativos e iguais, todas as trajetórias no plano tendem para a origem de forma direta e simétrica. O retrato de fase será composto por linhas que apontam para a origem, indicando a estabilidade do ponto de equilíbrio.

Resposta

A solução geral é . O ponto de equilíbrio na origem é um nó estável e o retrato de fase mostra todas as trajetórias convergindo diretamente para a origem.

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