Para as seguintes escolhas da matriz
, encontre a solução geral das equações
, classifique o equilíbrio na origem, e esboce o retrato de fase:
(e) Dica para entender como esboçar o retrato de fase: escreva a solução na forma
. Para
e
não nulos, qual é a direção das soluções quando
? E qual é a direção das soluções quando
?
(e) Dica para entender como esboçar o retrato de fase: escreva a solução na forma
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver o sistema de equações diferenciais
, onde a matriz
é dada por:
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares e matrizes, principalmente o cálculo de valores próprios e vetores próprios para encontrar a solução geral. Também vamos classificar o ponto de equilíbrio na origem e esboçar o retrato de fase seguindo a dica fornecida.
Passo 2
Primeiro, observamos que a matriz
é uma matriz diagonal. Isso facilita bastante nosso trabalho, pois os valores próprios são os elementos da diagonal. Então, os valores próprios
e
são:
Passo 3
Como a matriz é diagonal, os vetores próprios correspondentes são simplesmente os vetores canônicos. Ou seja, para
, o vetor próprio
é:
E para
, o vetor próprio
é:
Passo 4
A soluç��o geral do sistema pode ser escrita como uma combinação linear das soluções associadas a cada valor próprio:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos classificar o equilíbrio na origem. Como ambos os valores próprios são negativos (
,
), sabemos que a origem é um nó estável, pois todas as soluções tendem para zero conforme
.
Passo 6
Para esboçar o retrato de fase, vamos usar a dica: escrever a solução na forma
.
Quando
,
, então:
As soluções se dirigem para a origem.
Quando
,
, mas olhando a expressão, para manter valores finitos, os coeficientes
e
determinam a direção. As soluções saem da origem nas direções dos vetores próprios
e
.
Resposta
A solução geral é
. O ponto de equilíbrio na origem é um nó estável. No retrato de fase, as soluções se dirigem para a origem quando
e saem na direção dos vetores próprios quando
.