Para as seguintes escolhas da matriz A, encontre a solução geral das equações d/dt x = A x, classifique o equilíbrio na origem, e esboce o retrato de fase:
(e) Dica para entender como esboçar o retrato de fase: escreva a solução na forma e^(-t) (c1 e^(-t), c2). Para c1 e c2 não nulos, qual é a direção das soluções quando t -> infinito ? E qual é a direção das soluções quando t -> -infinito ?
(-2 0; 0 -1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver o sistema de equações diferenciais , onde a matriz A é dada por:
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares e matrizes, principalmente o cálculo de valores próprios e vetores próprios para encontrar a solução geral. Também vamos classificar o ponto de equilíbrio na origem e esboçar o retrato de fase seguindo a dica fornecida.

Passo 2

Primeiro, observamos que a matriz A é uma matriz diagonal. Isso facilita bastante nosso trabalho, pois os valores próprios são os elementos da diagonal. Então, os valores próprios e são:

Passo 3

Como a matriz é diagonal, os vetores próprios correspondentes são simplesmente os vetores canônicos. Ou seja, para , o vetor próprio é:
E para , o vetor próprio é:

Passo 4

A soluç��o geral do sistema pode ser escrita como uma combinação linear das soluções associadas a cada valor próprio:
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos classificar o equilíbrio na origem. Como ambos os valores próprios são negativos ( , ), sabemos que a origem é um nó estável, pois todas as soluções tendem para zero conforme t -> infinito.

Passo 6

Para esboçar o retrato de fase, vamos usar a dica: escrever a solução na forma .
Quando t -> infinito, , então:
As soluções se dirigem para a origem.
Quando , , mas olhando a expressão, para manter valores finitos, os coeficientes e determinam a direção. As soluções saem da origem nas direções dos vetores próprios e .

Resposta

A solução geral é . O ponto de equilíbrio na origem é um nó estável. No retrato de fase, as soluções se dirigem para a origem quando t -> infinito e saem na direção dos vetores próprios quando .

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