Para as seguintes escolhas da matriz A, encontre a solução geral das equações d/dt x = A x, classifique o equilíbrio na origem, e esboce o retrato de fase:
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente resolver o sistema de equações diferenciais dado por , onde a matriz é . Além disso, precisamos classificar o equilíbrio na origem e esboçar o retrato de fase. Para isso, vamos precisar entender sobre autovalores e autovetores, que nos ajudam a encontrar a solução geral desse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Para isso, resolvemos a equação característica:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
Calculando:
Então, a equação característica é:
Portanto, os autovalores são e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá a equação .
Podemos escolher , então o autovetor é .
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá a equação .
Podemos escolher , então o autovetor é .

Passo 4

Com os autovalores e autovetores encontrados, podemos escrever a solução geral do sistema. Para sistemas com autovalores reais e distintos, a solução geral é:
Substituindo os valores:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Vamos agora classificar o equilíbrio na origem. Como temos dois autovalores reais com sinais opostos ( e ), o ponto de equilíbrio na origem é um ponto de sela. Isso significa que as soluções se afastam ao longo da direção associada ao autovalor positivo e se aproximam ao longo da direção do autovalor negativo.

Passo 6

Por fim, vamos esboçar o retrato de fase. No caso de um ponto de sela:
  • As soluções tendem a seguir as retas definidas pelos autovetores.
  • Para e , as soluções se afastam da origem nessa direção.
  • Para e , as soluções se aproximam da origem nessa direção.
  • As demais soluções tendem a se comportar como hipérbolas, aproximando-se da origem ao longo de uma direção e afastando-se na outra.
Esboço do Retrato de Fase:

Resposta

A solução geral do sistema é . O ponto de equilíbrio na origem é uma sela, e o retrato de fase apresenta direções de afastamento e aproximação conforme os autovetores encontrados.

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