Para as seguintes escolhas da matriz
, encontre a solução geral das equações
, classifique o equilíbrio na origem, e esboce o retrato de fase:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente resolver o sistema de equações diferenciais dado por
, onde a matriz
é
. Além disso, precisamos classificar o equilíbrio na origem e esboçar o retrato de fase. Para isso, vamos precisar entender sobre autovalores e autovetores, que nos ajudam a encontrar a solução geral desse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz
. Para isso, resolvemos a equação característica:
Onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores.
Calculando:
Então, a equação característica é:
Portanto, os autovalores são
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para
:
Resolvemos
:
Isso nos dá a equação
.
Podemos escolher
, então o autovetor é
.
Para
:
Resolvemos
:
Isso nos dá a equação
.
Podemos escolher
, então o autovetor é
.
Passo 4
Com os autovalores e autovetores encontrados, podemos escrever a solução geral do sistema. Para sistemas com autovalores reais e distintos, a solução geral é:
Substituindo os valores:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Vamos agora classificar o equilíbrio na origem. Como temos dois autovalores reais com sinais opostos (
e
), o ponto de equilíbrio na origem é um ponto de sela. Isso significa que as soluções se afastam ao longo da direção associada ao autovalor positivo e se aproximam ao longo da direção do autovalor negativo.
Passo 6
Por fim, vamos esboçar o retrato de fase. No caso de um ponto de sela:
- As soluções tendem a seguir as retas definidas pelos autovetores.
- Para
e , as soluções se afastam da origem nessa direção. - Para
e , as soluções se aproximam da origem nessa direção. - As demais soluções tendem a se comportar como hipérbolas, aproximando-se da origem ao longo de uma direção e afastando-se na outra.
Esboço do Retrato de Fase:
Resposta
A solução geral do sistema é
. O ponto de equilíbrio na origem é uma sela, e o retrato de fase apresenta direções de afastamento e aproximação conforme os autovetores encontrados.