Qual das seguintes funções está bem-definida? g: Q -> Q definida pela equação (x+1) g(x) = 1 para todo x in Q.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida pela equação para todo número racional . Nosso objetivo é verificar se essa função está bem-definida, ou seja, se para todo em , a função realmente fornece um número racional e se a definição faz sentido para todos os .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar isolar na equação dada. Temos:
Para encontrar , dividimos ambos os lados da equação por :
Então, é igual a .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se está bem-definida para todo em . Isso significa que para cada número racional , deve ser um número racional e a expressão deve ser válida.

Passo 4

Vamos analisar a expressão . Essa divisão só é válida se o denominador for diferente de zero. Ou seja:
Portanto, a função está definida para todos os em exceto quando .

Passo 5

Além disso, como é um número racional e também é racional (já que a soma de dois racionais é racional), o resultado será racional, desde que .

Resposta

A função não está bem-definida em , pois não está definida para . Portanto, não é bem-definida.

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