Qual das seguintes funções está bem-definida? definida pela equação para todo .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida pela equação para todo número racional . Nosso objetivo é verificar se essa função está bem-definida, ou seja, se para todo em , a função realmente fornece um número racional e se a definição faz sentido para todos os .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar isolar na equação dada. Temos:
Para encontrar , dividimos ambos os lados da equação por :
Então, é igual a .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se está bem-definida para todo em . Isso significa que para cada número racional , deve ser um número racional e a expressão deve ser válida.

Passo 4

Vamos analisar a expressão . Essa divisão só é válida se o denominador for diferente de zero. Ou seja:
Portanto, a função está definida para todos os em exceto quando .

Passo 5

Além disso, como é um número racional e também é racional (já que a soma de dois racionais é racional), o resultado será racional, desde que .

Resposta

A função não está bem-definida em , pois não está definida para . Portanto, não é bem-definida.

Exercícios relacionados

Para cada uma das funções a seguir, determine se é ou não o gráfico de uma função de em . .
Seja um conjunto cujos elementos também são conjuntos. Prove que se , então .
Seja uma função. Prove que .
Seja uma função e sejam e . Então se, e somente se, .