Qual das seguintes funções está bem-definida?
definida pela equação
para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função
definida pela equação
para todo número racional
. Nosso objetivo é verificar se essa função está bem-definida, ou seja, se para todo
em
, a função
realmente fornece um número racional e se a definição faz sentido para todos os
.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar isolar
na equação dada. Temos:
Para encontrar
, dividimos ambos os lados da equação por
:
Então,
é igual a
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se
está bem-definida para todo
em
. Isso significa que para cada número racional
,
deve ser um número racional e a expressão
deve ser válida.
Passo 4
Vamos analisar a expressão
. Essa divisão só é válida se o denominador for diferente de zero. Ou seja:
Portanto, a função
está definida para todos os
em
exceto quando
.
Passo 5
Além disso, como
é um número racional e
também é racional (já que a soma de dois racionais é racional), o resultado
será racional, desde que
.
Resposta
A função
não está bem-definida em
, pois não está definida para
. Portanto,
não é bem-definida.
Exercícios relacionados
Para cada uma das funções a seguir, determine se
é ou não o gráfico de uma função de
em
.
.
Seja
um conjunto cujos elementos também são conjuntos. Prove que se
, então
.
Seja
uma função. Prove que
.
Seja
uma função e sejam
e
. Então
se, e somente se,
.