Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton:
f^prime(a)=lim h 0 f(a+h)-f(a)h
derivada de f(x)=1x no ponto a=-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função no ponto usando o limite do quociente de Newton. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da derivada de uma função no ponto f^prime(a) = limh 0 f(a+h) - f(a)h usando o limite do quociente de Newton:
Isso significa que vamos calcular como a função muda quando fazemos uma pequena variação em torno de .

Passo 3

Vamos substituir f^prime(-1) = limh 0 f(-1 + h) - f(-1)h e na fórmula:

Passo 4

Agora, vamos calcular f(-1 + h) = 1-1 + h e f(-1) = 1-1 = -1 :

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão do limite:
f^prime(-1) = limh 0 1-1 + h - (-1)h = limh 0 1-1 + h + 1h

Passo 6

Vamos simplificar a expressão no numerador:
1-1 + h + 1 = 1 + (-1 + h)-1 + h = h-1 + h
Então, temos:
f^prime(-1) = limh 0 h-1 + hh = limh 0 hh(-1 + h) = limh 0 1-1 + h

Passo 7

Agora, vamos calcular o limite quando limh 0 1-1 + h = 1-1 + 0 = 1-1 = -1 se aproxima de 0:

Resposta

A derivada de no ponto é .

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