Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton:
f^prime(a)=lim h 0 f(a+h)-f(a)h
derivada de f(x)=raizx no ponto a=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função f^prime(a)=lim h 0 f(a+h)-f(a)h no ponto usando o limite do quociente de Newton. A derivada nos mostra a taxa de variação da função naquele ponto. Para isso, vamos precisar usar a fórmula do limite:

Passo 2

Primeiro, vamos substituir f^prime(4)=lim h 0 raiz4+h - raiz4h por e por 4 na fórmula:

Passo 3

Sabemos que f^prime(4)=lim h 0 raiz4+h - 2h , então substituímos isso na expressão:

Passo 4

Para resolver esse limite, vamos racionalizar o numerador. Multiplicamos e dividimos pela conjugada do numerador, que é f^prime(4)=lim h 0 raiz4+h - 2h cdot raiz4+h + 2raiz4+h + 2 :

Passo 5

Multiplicando os numeradores e denominadores:
f^prime(4)=lim h 0 (raiz4+h)^2 - 2^2h (raiz4+h + 2) = lim h 0 4 + h - 4h (raiz4+h + 2)

Passo 6

Simplificando o numerador:
f^prime(4)=lim h 0 hh (raiz4+h + 2) = lim h 0 1raiz4+h + 2

Passo 7

Agora, aplicamos o limite substituindo f^prime(4)=1raiz4+0 + 2 = 12 + 2 = 14 por 0:

Resposta

A derivada de no ponto é .

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