As seguintes funções são linearmente independentes no intervalo dado? x - 2, x + 2 em -2 < x < 2

Passo 1

Vamos ver se as funções e são linearmente independentes no intervalo . Para isso, vamos usar o conceito de independência linear que é fundamental no estudo de funções.

Passo 2

Duas funções são linearmente independentes se a única combinação linear delas que dá a função zero é quando todos os coeficientes são zero. Ou seja, se temos para todo no intervalo, então necessariamente e .

Passo 3

Vamos montar a equação com as funções dadas:
Distribuindo os coeficientes:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 4

Para que essa equação seja válida para todo no intervalo, os coeficientes de e o termo constante devem ser iguais a zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver o sistema:
  1. Da primeira equação: .
  2. Substituindo na segunda equação:
  1. Com , então .

Resposta

Como a única solução é e , as funções e são linearmente independentes no intervalo .

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