As seguintes funções são linearmente independentes no intervalo dado?
em
Passo 1
Vamos ver se as funções
e
são linearmente independentes no intervalo
. Para isso, vamos usar o conceito de independência linear que é fundamental no estudo de funções.
Passo 2
Duas funções são linearmente independentes se a única combinação linear delas que dá a função zero é quando todos os coeficientes são zero. Ou seja, se temos
para todo
no intervalo, então necessariamente
e
.
Passo 3
Vamos montar a equação com as funções dadas:
Distribuindo os coeficientes:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 4
Para que essa equação seja válida para todo
no intervalo, os coeficientes de
e o termo constante devem ser iguais a zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver o sistema:
- Da primeira equação:
⇒ . - Substituindo
na segunda equação:
- Com
, então .
Resposta
Como a única solução é
e
, as funções
e
são linearmente independentes no intervalo
.