As seguintes funções são linearmente independentes no intervalo dado? 5 sen x cos x, 3 sen (2 x) em x > 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pergunta se as funções e são linearmente independentes no intervalo . Aqui, vamos usar conceitos de álgebra linear, mais especificamente sobre independência linear de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa duas funções serem linearmente independentes. Se não existir nenhuma constante tal que uma função seja igual a vezes a outra em todo o intervalo, então elas são linearmente independentes. Se existir tal constante, elas são linearmente dependentes.

Passo 3

Vamos simplificar a primeira função para facilitar a comparação. Sabemos que:
Portanto,

Passo 4

Agora, temos as duas funções na forma:
Podemos ver que ambas são múltiplos da mesma função .

Passo 5

Se uma função é um múltiplo exato da outra, isso significa que existe uma constante que relaciona as duas:
Resolvendo para :
Isso mostra que uma função é igual a vezes a outra.

Resposta

As funções e são linearmente dependentes no intervalo .

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