As seguintes funções são linearmente independentes no intervalo dado?
em
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que pergunta se as funções
e
são linearmente independentes no intervalo
. Aqui, vamos usar conceitos de álgebra linear, mais especificamente sobre independência linear de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa duas funções serem linearmente independentes. Se não existir nenhuma constante
tal que uma função seja igual a
vezes a outra em todo o intervalo, então elas são linearmente independentes. Se existir tal constante, elas são linearmente dependentes.
Passo 3
Vamos simplificar a primeira função para facilitar a comparação. Sabemos que:
Portanto,
Passo 4
Agora, temos as duas funções na forma:
Podemos ver que ambas são múltiplos da mesma função
.
Passo 5
Se uma função é um múltiplo exato da outra, isso significa que existe uma constante
que relaciona as duas:
Resolvendo para
:
Isso mostra que uma função é igual a
vezes a outra.
Resposta
As funções
e
são linearmente dependentes no intervalo
.