Nos seguintes itens, calcule a derivada
utilizando derivação implícita:
Passo 1
Então, temos a equação
e precisamos encontrar a derivada
usando derivação implícita. Vamos trabalhar com o conteúdo de derivadas e, mais especificamente, com a técnica de derivação implícita, que é útil quando temos uma equação que relaciona
e
de forma que não seja fácil isolar
.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se de que
é uma função de
, então sempre que derivarmos um termo que contém
, usaremos a regra da cadeia.
Passo 3
Derivando o lado esquerdo
:
A derivada de em relação a
é
. Aqui,
.
Então, .
A derivada de
Então,
Passo 4
Agora, vamos derivar
:
Usamos a regra do quociente: .
Portanto, .
Usamos a regra do quociente:
Portanto,
Passo 5
Derivando o lado direito
:
A derivada de é
e a derivada de
usando a regra da cadeia é
.
Então, .
A derivada de
Então,
Passo 6
Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
.
Passo 7
Vamos resolver para
. Primeiro, multiplique ambos os lados por
para eliminar o denominador:
.
Passo 8
Distribuindo os termos:
.
Passo 9
Reúna os termos que contêm
de um lado e os demais termos do outro:
.
Passo 10
Fatore
no lado esquerdo:
.
Passo 11
Isolando
:
.
Resposta
A derivada
é:
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utilizando derivação implícita:
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