Nos seguintes itens, calcule a derivada utilizando derivação implícita:

Passo 1

Então, temos a equação e precisamos encontrar a derivada usando derivação implícita. Vamos trabalhar com o conteúdo de derivadas e, mais especificamente, com a técnica de derivação implícita, que é útil quando temos uma equação que relaciona e de forma que não seja fácil isolar .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se de que é uma função de , então sempre que derivarmos um termo que contém , usaremos a regra da cadeia.

Passo 3

Derivando o lado esquerdo :
A derivada de em relação a é . Aqui, .
Então, .

Passo 4

Agora, vamos derivar :
Usamos a regra do quociente: .
Portanto, .

Passo 5

Derivando o lado direito :
A derivada de é e a derivada de usando a regra da cadeia é .
Então, .

Passo 6

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
.

Passo 7

Vamos resolver para . Primeiro, multiplique ambos os lados por para eliminar o denominador:
.

Passo 8

Distribuindo os termos:
.

Passo 9

Reúna os termos que contêm de um lado e os demais termos do outro:
.

Passo 10

Fatore no lado esquerdo:
.

Passo 11

Isolando :
.

Resposta

A derivada é:

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