Nas seguintes matrizes, determine se a matriz dada é invertível. Caso seja, calcule a inversa.
h.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente descobrir se uma matriz é invertível e, se for, calcular a sua inversa. A matéria aqui envolve álgebra linear, especificamente o conceito de matriz inversa. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e, se for diferente de zero, seguir para encontrar a inversa usando a matriz adjunta.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz. Para uma matriz 3x3, o determinante é calculado assim:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde a, b, c, d, e, f, g, h, i são os elementos da matriz:
A = a & b & c d & e & f g & h & i
No nosso caso, a matriz é:
A = 0 & 1 & 3 3 & 4 & -2 -1 & 5 & 8
Então, identificando os elementos:
Passo 3
Agora, vamos substituir esses valores na fórmula do determinante:
Como o determinante é 35, que é diferente de zero, a matriz A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) é invertível. Agora, vamos calcular a inversa da matriz. Para uma matriz 3x3, a inversa pode ser encontrada usando a seguinte fórmula:
Onde é a matriz adjunta de .
Passo 5
Primeiro, vamos encontrar a matriz adjunta. A adjunta é a transposta da matriz dos cofatores de Cij = (-1)^i+j cdot Mij . Para cada elemento da matriz 4 & -2 5 & 8, calculamos o cofator correspondente.
Os cofatores são calculados assim:
3 & -2 -1 & 8
Onde 3 & 4 -1 & 5 é o menor complementar, ou seja, o determinante da matriz resultante ao remover a i-ésima linha e j-ésima coluna.
Vamos calcular cada cofator:
1 & 3 5 & 8
0 & 3 -1 & 8
0 & 1 -1 & 5
1 & 3 4 & -2
0 & 3 3 & -2
0 & 1 3 & 4
42 & -22 & 19 7 & 3 & -1 -14 & 9 & -3
Então, a matriz dos cofatores é:
Passo 6
Agora, vamos tirar a transposta dessa matriz de cofatores para obter a adjunta:
adj(A) = 42 & 7 & -14 -22 & 3 & 9 19 & -1 & -3
Passo 7
Finalmente, vamos calcular a inversa multiplicando a adjunta pelo inverso do determinante: