Nas seguintes matrizes, determine se a matriz dada é invertível. Caso seja, calcule a inversa.
h. (rrr0 & 1 & 3 3 & 4 & -2 -1 & 5 & 8)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente descobrir se uma matriz é invertível e, se for, calcular a sua inversa. A matéria aqui envolve álgebra linear, especificamente o conceito de matriz inversa. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e, se for diferente de zero, seguir para encontrar a inversa usando a matriz adjunta.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz. Para uma matriz 3x3, o determinante é calculado assim:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde a, b, c, d, e, f, g, h, i são os elementos da matriz:
A = a & b & c d & e & f g & h & i
No nosso caso, a matriz é:
A = 0 & 1 & 3 3 & 4 & -2 -1 & 5 & 8
Então, identificando os elementos:

Passo 3

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula do determinante:
det(A) = 0 cdot (4 cdot 8 - (-2) cdot 5) - 1 cdot (3 cdot 8 - (-2) cdot (-1)) + 3 cdot (3 cdot 5 - 4 cdot (-1))
Calculando cada parte:
  1. det(A) = 0 - 22 + 57 = 35
Então, somando tudo:

Passo 4

Como o determinante é 35, que é diferente de zero, a matriz A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) é invertível. Agora, vamos calcular a inversa da matriz. Para uma matriz 3x3, a inversa pode ser encontrada usando a seguinte fórmula:
Onde é a matriz adjunta de .

Passo 5

Primeiro, vamos encontrar a matriz adjunta. A adjunta é a transposta da matriz dos cofatores de Cij = (-1)^i+j cdot Mij . Para cada elemento da matriz 4 & -2 5 & 8, calculamos o cofator correspondente.
Os cofatores são calculados assim:
3 & -2 -1 & 8
Onde 3 & 4 -1 & 5 é o menor complementar, ou seja, o determinante da matriz resultante ao remover a i-ésima linha e j-ésima coluna.
Vamos calcular cada cofator:
  1. 1 & 3 5 & 8
  2. 0 & 3 -1 & 8
  3. 0 & 1 -1 & 5
  4. 1 & 3 4 & -2
  5. 0 & 3 3 & -2
  6. 0 & 1 3 & 4
  7. 42 & -22 & 19 7 & 3 & -1 -14 & 9 & -3
Então, a matriz dos cofatores é:

Passo 6

Agora, vamos tirar a transposta dessa matriz de cofatores para obter a adjunta:
adj(A) = 42 & 7 & -14 -22 & 3 & 9 19 & -1 & -3

Passo 7

Finalmente, vamos calcular a inversa multiplicando a adjunta pelo inverso do determinante:
A^-1 = 135 cdot 42 & 7 & -14 -22 & 3 & 9 19 & -1 & -3
Simplificando cada elemento:
A^-1 = 4235 & 735 & -1435 -2235 & 335 & 935 1935 & -135 & -335
Reduzindo as frações:
A^-1 = 65 & 15 & -25 -2235 & 335 & 935 1935 & -135 & -335

Resposta

A matriz é invertível e a sua inversa é:
A^-1 = 65 & 15 & -25 -2235 & 335 & 935 1935 & -135 & -335

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