Seja A o operador linear de R^2 tal que A(1,0)=(2,1) e A(0,1)=(1,4). Determine o núcleo e a imagem de A

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um operador linear A que atua no espaço R^2. As informações dadas são as imagens dos vetores (1,0) e (0,1) por esse operador: A(1,0)=(2,1) e A(0,1)=(1,4). Nosso objetivo é determinar o núcleo (ou kernel) e a imagem (ou imagem) desse operador.
Para resolver isso, vamos precisar saber como representar o operador A em termos de uma matriz, e então usar conceitos de álgebra linear para encontrar o núcleo e a imagem dessa matriz.

Passo 2

Primeiro, precisamos representar o operador linear A como uma matriz. Sabemos que em R^2, qualquer operador linear pode ser representado por uma matriz A de dimensão 2 times 2. As colunas dessa matriz são justamente as imagens dos vetores canônicos (1,0) e (0,1).
Então, dado que:
A(1,0) = (2,1) e A(0,1) = (1,4),
a matriz A que representa A é:
A = 2 & 1 1 & 4

Passo 3

Agora, vamos encontrar o núcleo de A. O núcleo é o conjunto de todos os vetores v in R^2 tais que A(v) = 0. Em termos de matriz, isso significa resolver a equação A cdot v = 0.

Vamos escrever isso explicitamente:
[
2 & 1 1 & 4 x y = 0 0
2x + y = 0 x + 4y = 0


]
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de x e y que satisfazem ambas as equações.
Da primeira equação:
2x + y = 0 implies y = -2x
Substituindo y = -2x na segunda equação:
x + 4(-2x) = 0 implies x - 8x = 0 implies -7x = 0 implies x = 0
Então, se x = 0, então y = -2(0) = 0.

Passo 5

Com isso, vemos que a única solução para o sistema é x = 0 e y = 0. Portanto, o núcleo de A é apenas o vetor nulo:
Núc<=o(A) = (0, 0) ú
Isso significa que A é injetora, já que seu núcleo contém apenas o vetor nulo.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a imagem de A. A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos a partir de combinações lineares das colunas da matriz A.
Nossa matriz A é:
A = 2 & 1 1 & 4
As colunas são os vetores (2,1) e (1,4). Queremos verificar se essas colunas são linearmente independentes para determinar a dimensão da imagem.
Calculando o determinante de A:
det(A) = (2)(4) - (1)(1) = 8 - 1 = 7 neq 0
Como o determinante é diferente de zero, as colunas são linearmente independentes, o que significa que a imagem de A é todo o espaço R^2.

Resposta

Núc<=o(A) = (0, 0) e Ima>=m(A) = R^2 ú

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