Seja
o operador linear de
tal que
e
. Determine o núcleo e a imagem de
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um operador linear
que atua no espaço
. As informações dadas são as imagens dos vetores
e
por esse operador:
e
. Nosso objetivo é determinar o núcleo (ou kernel) e a imagem (ou imagem) desse operador.
Para resolver isso, vamos precisar saber como representar o operador
em termos de uma matriz, e então usar conceitos de álgebra linear para encontrar o núcleo e a imagem dessa matriz.
Passo 2
Primeiro, precisamos representar o operador linear
como uma matriz. Sabemos que em
, qualquer operador linear pode ser representado por uma matriz
de dimensão
. As colunas dessa matriz são justamente as imagens dos vetores canônicos
e
.
Então, dado que:
a matriz
que representa
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o núcleo de
. O núcleo é o conjunto de todos os vetores
tais que
. Em termos de matriz, isso significa resolver a equação
.
Vamos escrever isso explicitamente:
[
]
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
e
que satisfazem ambas as equações.
Da primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Então, se
, então
.
Passo 5
Com isso, vemos que a única solução para o sistema é
e
. Portanto, o núcleo de
é apenas o vetor nulo:
Isso significa que
é injetora, já que seu núcleo contém apenas o vetor nulo.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a imagem de
. A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos a partir de combinações lineares das colunas da matriz
.
Nossa matriz
é:
As colunas são os vetores
e
. Queremos verificar se essas colunas são linearmente independentes para determinar a dimensão da imagem.
Calculando o determinante de
:
Como o determinante é diferente de zero, as colunas são linearmente independentes, o que significa que a imagem de
é todo o espaço
.