Seja M3 times 3(R) o espaço vetorial das matrizes 3 times 3 sobre R. Verifique quais dos seguintes conjuntos W abaixo são subespaços de M3 times 3(R).
a) W=A in M3 times 3(R) mid A^t=-A
b) W=A in M3 times 3(R) mid A é triangular superior (Pesquise o que é uma matriz triangular superior).
c) W=A in M3 times 3(R) mid A é diagonal (Pesquise o que é uma matriz diagonal).
d) W=A in M3 times 3(R) mid A possui inversa

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! O enunciado pede para verificarmos se certos conjuntos de matrizes sobre os números reais ( ) são subespaços vetoriais de . Para isso, vamos precisar lembrar quais são os critérios para um conjunto ser um subespaço: ele precisa conter a matriz zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

a) (A + B)^t = A^t + B^t = -A - B = -(A + B)

Primeiro, precisamos entender o que é uma matriz skew-simétrica. Uma matriz (cA)^t = cA^t = c(-A) = -cA é skew-simétrica se a sua transposta é igual a .
  1. Matriz Zero: A matriz zero satisfaz , então está em .
  2. Fechamento por Adição: Se e são skew-simétricas, então: Logo, também é skew-simétrica.
  3. Fechamento por Escalar: Se é skew-simétrica e é um escalar, então: Então, também é skew-simétrica.
Como todos os critérios são atendidos, é um subespaço.

b) é

Uma matriz triangular superior é aquela onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero.
  1. Matriz Zero: A matriz zero é triangular superior.
  2. Fechamento por Adição: A soma de duas matrizes triangulares superiores também é triangular superior, pois os zeros abaixo da diagonal permanecem.
  3. Fechamento por Escalar: Multiplicar uma matriz triangular superior por um escalar mantém os zeros abaixo da diagonal.
Portanto, é um subespaço.

c) é

Uma matriz diagonal tem todos os elementos fora da diagonal principal iguais a zero.
  1. Matriz Zero: A matriz zero é diagonal.
  2. Fechamento por Adição: A soma de duas matrizes diagonais é diagonal.
  3. Fechamento por Escalar: Multiplicar uma matriz diagonal por um escalar mantém os elementos fora da diagonal iguais a zero.
Logo, é um subespaço.

d)

Aqui, estamos lidando com matrizes inversíveis.
  1. Matriz Zero: A matriz zero não possui inversa, pois não existe uma matriz tal que , onde é a identidade.
    Isso já mostra que não contém a matriz zero, então já podemos concluir que não é um subespaço.

Resposta

Os conjuntos dos itens a), b) e c) são subespaços de . O conjunto do item d) não é um subespaço.

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