Seja
o espaço vetorial das matrizes
sobre
. Verifique quais dos seguintes conjuntos
abaixo são subespaços de
.
a)
b)
é triangular superior
(Pesquise o que é uma matriz triangular superior).
c)
é diagonal
(Pesquise o que é uma matriz diagonal).
d)
possui inversa
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! O enunciado pede para verificarmos se certos conjuntos
de matrizes
sobre os números reais (
) são subespaços vetoriais de
. Para isso, vamos precisar lembrar quais são os critérios para um conjunto ser um subespaço: ele precisa conter a matriz zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
a)
Primeiro, precisamos entender o que é uma matriz skew-simétrica. Uma matriz
é skew-simétrica se a sua transposta
é igual a
.
- Matriz Zero: A matriz zero
satisfaz , então está em . - Fechamento por Adição: Se
e são skew-simétricas, então: Logo, também é skew-simétrica. - Fechamento por Escalar: Se
é skew-simétrica e é um escalar, então: Então, também é skew-simétrica.
Como todos os critérios são atendidos,
é um subespaço.
b)
Uma matriz triangular superior é aquela onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero.
- Matriz Zero: A matriz zero é triangular superior.
- Fechamento por Adição: A soma de duas matrizes triangulares superiores também é triangular superior, pois os zeros abaixo da diagonal permanecem.
- Fechamento por Escalar: Multiplicar uma matriz triangular superior por um escalar mantém os zeros abaixo da diagonal.
Portanto,
é um subespaço.
c)
Uma matriz diagonal tem todos os elementos fora da diagonal principal iguais a zero.
- Matriz Zero: A matriz zero é diagonal.
- Fechamento por Adição: A soma de duas matrizes diagonais é diagonal.
- Fechamento por Escalar: Multiplicar uma matriz diagonal por um escalar mantém os elementos fora da diagonal iguais a zero.
Logo,
é um subespaço.
d)
Aqui, estamos lidando com matrizes inversíveis.
-
Matriz Zero: A matriz zero não possui inversa, pois não existe uma matriz tal que
, onde é a identidade. Isso já mostra quenão contém a matriz zero, então já podemos concluir que não é um subespaço.
Resposta
Os conjuntos
dos itens a), b) e c) são subespaços de
. O conjunto do item d) não é um subespaço.
Exercícios relacionados
- Os vetores
e geram o .
Seja
um espaço vetorial sobre
. Prove, para todo
e
, que:
a) ,
b) ,
c) só é possível se
ou
,
d) .
a)
b)
c)
d)
Seja
o operador linear de
tal que
e
. Determine o núcleo e a imagem de
Quais dos seguintes operadores de
em
são lineares? Justifique a sua resposta.