Quais dos seguintes operadores de
em
são lineares? Justifique a sua resposta.
Passo 1
Beleza, a gente vai resolver essa questão que pergunta se o operador
de
para
é linear. Vamos precisar entender o que é um operador linear e como verificar se esse operador específico cumpre as propriedades necessárias para ser chamado de linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um operador ser linear. Um operador
é linear se ele satisfaz duas condições:
- Adição:
para quaisquer vetores e . - Homogeneidade:
para qualquer escalar e vetor .
Passo 3
Vamos verificar a adição. Seja
e
. Então:
Enquanto:
Vemos que
, então a adição está ok.
Passo 4
Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja
um escalar e
. Então:
Comparando com:
Novamente,
, então a homogeneidade também está ok.
Resposta
O operador
é linear porque ele satisfaz as propriedades de adição e homogeneidade necessárias para ser considerado uma transformação linear.