Quais dos seguintes operadores de R^3 em R^3 são lineares? Justifique a sua resposta.
A2(x, y, z)=(2 x-y+z, 0,0)

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver essa questão que pergunta se o operador de para é linear. Vamos precisar entender o que é um operador linear e como verificar se esse operador específico cumpre as propriedades necessárias para ser chamado de linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um operador ser linear. Um operador é linear se ele satisfaz duas condições:
  1. Adição: para quaisquer vetores e .
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar e vetor .

Passo 3

Vamos verificar a adição. Seja A2(u + v) = A2(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (2(x1 + x2) - (y1 + y2) + (z1 + z2), 0, 0) e A2(u) + A2(v) = (2x1 - y1 + z1, 0, 0) + (2x2 - y2 + z2, 0, 0) = (2x1 + 2x2 - y1 - y2 + z1 + z2, 0, 0) . Então:
Enquanto:
Vemos que , então a adição está ok.

Passo 4

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja A2(ku) = A2(kx, ky, kz) = (2(kx) - (ky) + (kz), 0, 0) = k(2x - y + z, 0, 0) um escalar e kA2(u) = k(2x - y + z, 0, 0) = (k(2x - y + z), 0, 0) . Então:
Comparando com:
Novamente, , então a homogeneidade também está ok.

Resposta

O operador é linear porque ele satisfaz as propriedades de adição e homogeneidade necessárias para ser considerado uma transformação linear.

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