Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite:

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma sequência definida por . A missão é descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de algum valor específico conforme aumenta) ou diverge (não se aproxima de nenhum valor). Se ela convergir, a gente também quer saber qual é esse limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências, que é uma parte da matemática que estuda o comportamento das sequências conforme os índices aumentam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece com a expressão conforme fica cada vez maior. O denominador cresce muito rápido porque é um termo quadrático, enquanto o numerador é sempre 1. Isso sugere que o valor da fração deve diminuir conforme aumenta.

Passo 3

Para formalizar isso, vamos calcular o limite da sequência quando tende ao infinito:
Quando vai para o infinito, também vai para o infinito, então também tende ao infinito. Assim, a fração tende a .

Passo 4

Sabemos que é igual a 0. Portanto:
Isso significa que a sequência converge e seu limite é 0.

Resposta

A sequência converge e seu limite é .

Exercícios relacionados

Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite:
Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite:
Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite:
Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite: