Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite:
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é uma sequência definida por
. A missão é descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de algum valor específico conforme
aumenta) ou diverge (não se aproxima de nenhum valor). Se ela convergir, a gente também quer saber qual é esse limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências, que é uma parte da matemática que estuda o comportamento das sequências conforme os índices aumentam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece com a expressão
conforme
fica cada vez maior. O denominador
cresce muito rápido porque é um termo quadrático, enquanto o numerador é sempre 1. Isso sugere que o valor da fração deve diminuir conforme
aumenta.
Passo 3
Para formalizar isso, vamos calcular o limite da sequência quando
tende ao infinito:
Quando
vai para o infinito,
também vai para o infinito, então
também tende ao infinito. Assim, a fração
tende a
.
Passo 4
Sabemos que
é igual a 0. Portanto:
Isso significa que a sequência converge e seu limite é 0.
Resposta
A sequência
converge e seu limite é
.
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