Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite: 1/(1+n^2)

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma sequência definida por 1/(1+n^2). A missão é descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de algum valor específico conforme n aumenta) ou diverge (não se aproxima de nenhum valor). Se ela convergir, a gente também quer saber qual é esse limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências, que é uma parte da matemática que estuda o comportamento das sequências conforme os índices aumentam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece com a expressão conforme n fica cada vez maior. O denominador cresce muito rápido porque é um termo quadrático, enquanto o numerador é sempre 1. Isso sugere que o valor da fração deve diminuir conforme n aumenta.

Passo 3

Para formalizar isso, vamos calcular o limite da sequência quando n tende ao infinito:
Quando n vai para o infinito, n^2 também vai para o infinito, então também tende ao infinito. Assim, a fração tende a .

Passo 4

Sabemos que é igual a 0. Portanto:
Isso significa que a sequência converge e seu limite é 0.

Resposta

A sequência 1/(1+n^2) converge e seu limite é 0.

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