Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência dada por . O que precisamos fazer é descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de algum número específico conforme cresce) ou diverge (não se aproxima de nenhum número específico). Se ela convergir, a gente também quer saber qual é esse limite.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco essa expressão para facilitar a análise. A sequência é . Vamos expandir o denominador:
Então, a sequência fica:

Passo 3

Agora, para encontrar o limite conforme vai para o infinito, a gente olha para os termos de maior grau no numerador e no denominador. Nesse caso, tanto o numerador quanto o denominador têm termos de .
Vamos dividir todos os termos por para simplificar:
À medida que cresce, e vão se aproximando de zero. Então, a expressão simplifica para:

Resposta

A sequência converge e o limite é .

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