Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência dada por
. O que precisamos fazer é descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de algum número específico conforme
cresce) ou diverge (não se aproxima de nenhum número específico). Se ela convergir, a gente também quer saber qual é esse limite.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco essa expressão para facilitar a análise. A sequência é
. Vamos expandir o denominador:
Então, a sequência fica:
Passo 3
Agora, para encontrar o limite conforme
vai para o infinito, a gente olha para os termos de maior grau no numerador e no denominador. Nesse caso, tanto o numerador quanto o denominador têm termos de
.
Vamos dividir todos os termos por
para simplificar:
À medida que
cresce,
e
vão se aproximando de zero. Então, a expressão simplifica para:
Resposta
A sequência converge e o limite é
.
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