Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite: (n-1)(n+1)/(2n^2 + 2n + 2)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos determinar se a sequência (n-1)(n+1)/(2n^2 + 2n + 2) converge ou diverge. Se ela converge, também devemos encontrar o limite. Para resolver isso, vamos utilizar conhecimentos de sequências e limites, especialmente sobre o comportamento de funções polinomiais quando n tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência. Observamos que tanto o numerador quanto o denominador são polinômios em n. Para facilitar a análise do limite, vamos dividir todos os termos pelo maior expoente de n presente na expressão, que é .

Passo 3

Vamos reescrever a expressão dividindo o numerador e o denominador por :

Passo 4

Simplificando cada termo:
Aqui, dividimos cada termo do numerador e do denominador por .

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento da expressão quando n tende ao infinito. Sabemos que 1/n e tendem a zero quando n cresce sem limite.

Passo 6

Substituindo os limites:
Portanto, o limite da sequência é 1/2.

Resposta

A sequência converge e o seu limite é .

Exercícios relacionados