Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por
. Nosso objetivo é descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de algum valor específico conforme
cresce) ou diverge (não se aproxima de nenhum valor específico). Para isso, vamos analisar o comportamento dos termos dessa sequência quando
vai para o infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para entender melhor o que está acontecendo. No numerador, temos
, e no denominador
. Quando
fica muito grande, os termos com maiores potências de
tendem a dominar. Então,
no numerador e
no denominador são os termos mais importantes.
Passo 3
Simplificamos a expressão considerando apenas os termos dominantes:
Aqui,
é igual a
. Então, a expressão simplificada fica
.
Passo 4
Agora, analisamos o limite dessa expressão simplificada conforme
tende ao infinito:
Isso quer dizer que conforme
cresce, a sequência não se aproxima de nenhum número real fixo, mas continua diminuindo sem limites.
Resposta
A sequência diverge para menos infinito, ou seja, não converge.
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